2017 Fiscal Year Annual Research Report
The new development of rigid geometry --- construction of a new hybrid geometry and exploration of its applications
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17H02832
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
加藤 文元 東京工業大学, 理学院, 教授 (50294880)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
齋藤 秀司 東京工業大学, 理学院, 教授 (50153804)
三井 健太郎 神戸大学, 先端融合研究環, 助教 (70644889)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リジッド幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築：従前の予備的研究（ザリスキー主定理のヘンゼル的類似や解析的閉包の存在など、射・部分空間・空間の族・連接層などの解析=代 数的拡張定理）を踏まえて、代数幾何学と従来のリジッド幾何学との中間に位置付けられる幾何学としてのヘンゼル的リジッド幾何学の基盤について、特に正標数の場合のGAGA原理について、新しい知見を得ることができた。これについて、すでに口頭による発表は行っている。論文という形での発表の是非については、今後得られる結果を踏まえて検討するべきであると考えている。
(2) 将来的応用に向けた実験的・予備的試論の展開：応用可能性の探索に向けた取り組みとしては、研究分担者たちによる代数サイクルの研究や、対数的幾何学との関連性の研究がある。これらの研究はまだ発展途上であるが、これらの具体的な数学現象の観察を通じて、それらの構造をどのくらい詳細に、ハイブリッド型幾何学が明らかにすることができるについての一定の理解を得ることを目指している。
(3) 具体的な初期研究体制の構築：研究体制の整備については、早期の段階で具体的な形にすることはできたと思われる。ヘンゼル的リジッド幾何学本体の研究については、すでに専門領域の内部での研究を初めている。また、応用可能性や実験的数学の展開についても、まだまだ発展途上にあるとはいえ、その初動総括的推進体制は整っており、研究の推進を日々行っているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ヘンゼル的リジッド幾何学本体の基盤構築については、上述の通り、特に正標数のヘンゼル的付値体上ではGAGA原理についての新しい結果を得るところまで、研究本体を進歩させることができた。それに加えて、特にその基礎付けという面では、ヘンゼル的スキーム理論の一般論の整備や、その問題点の摘出、および認容ブローアップについての一般的知見の獲得・整備など、概ね当初予定していた通りの進度で、研究は進んでいると見なされる程度の結果は得られている。また、応用可能性の探索や実験的数学的側面の展開という点についても、研究分担者の研究を中心に、おおむね良好に進んでおり、代数サイクルに関する専門的研究や、対数的幾何学などといった新しいキーワードも得られるようになってきた。これらを概観するに、基本的な路線として当初予定してきた「基盤構築・基礎付け」的側面と「応用・実験」的展開の側面の両立・平行的進捗という研究遂行のスタイルを、かなりの程度実現できているものと思われる。今研究の、特に遂行形態という側面ので特徴のひとつは、基礎と応用のバランスと、その間の発展的かつ流動的関係性の構築にあり、そのため多面的で双方向的な研究体制を早期に構築することが、特に初年度の目標であったわけであるが、以上のような背景から、この面（研究体制の早期確立）でも、研究遂行はおおむね良好と判断され、その意味で、この研究が目指している独自のスタイルの確立は、ほぼ完成している、あるいは基本的には可能となっていると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築の戦略的継続：すでに研究分担者との間で行われていた予備的研究(ザリスキー主定理のヘンゼル的類似や解析的閉包の存在など、射・部分空間・空間の族・連接層などの解析=代数的拡張定理)および初年度の研究を踏まえて、今後はヘンゼル的リジッド幾何学特有の〈拡張可能性質〉の一般論のさらなる展開を目指す。さらに、その一般論展開において必要となる一般論・基礎理論を充実させる。
(2) 将来的応用に向けた実験的試論の推進：上述のような基盤整備が展開されるのと同時に、これを代数幾何学や数論幾何学にお ける既存の理論への応用することを想定した、理論形成のレビューとして、初年度から行っている予備的な応用可能性の探求を継続する。これを通じて、実験的応用への方向性を明確にし、初期の理論形成における基本的方向性 の明確化を図る。具体的には楕円曲線や志村多様体などの代数・数論幾何学的対象の構造理解や、その部分多様体や代数サイクルの理解、特に対数的幾何学的な視点を交えたこれらの理論への視角への応用を目指し、具体的な数学現象の観察を通じてそれらの構造をどのくらい詳細に、ハイブリッド型幾何学が明らかにすることができるについて、さらに深い理解を得ることを目指す。
(3) 具体的な初期研究体制の構築:以上の研究計画を遂行する上での研究体制を更に充実させ、更に高いレベルの目的に達することを可能にすることを目指す。 具体的には、ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築の発展的継続(加藤・三井)、実験数学による検証(加藤・斎藤)、代数幾何学・数論幾何学および対数的幾何学への応用(加藤・斎藤・三井)という基本的な3体制の発展的継続と戦略的推進の三点に要約される。
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