2019 Fiscal Year Annual Research Report
The new development of rigid geometry --- construction of a new hybrid geometry and exploration of its applications
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17H02832
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
加藤 文元 東京工業大学, 理学院, 教授 (50294880)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50153804)
三井 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 助教 (70644889)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リジッド幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
●ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築については、その基礎的部分の構築から実質的な作業段階に入った。従来のリジッド幾何学に比べて、ヘンゼル的リジッド幾何学は極めてデリケートなものであることがすでに明らかになっている。特にそのコホモロジーの計算に必要な定理Aおよび定理Bが一般に成り立たないことを受けて、どのような状況を考え、どのようにこの困難を回避するべきかについての集中的な考察を開始している。これらの基礎理論構築から発展的な考察を続ける場合、楕円曲線や志村多様体などの数論幾何的空間の構造解析や、代数サイクル理論への応用など、将来的応用のための技術的条件を加味しながら研究を続ける必要がある。
●解析多様体の有理点に関するピラ・ウィルキー型の定理への非アルキメデス的側面からの応用という、新しい応用の可能性については、引き続きワイツマン研究所（イスラエル）のGal Binyamini氏との共同研究を続けている。技術的な部分はそのネーター正規化定理の確立にあるが、これについては今後も研究を発展させていくことが十分に価値のあることであり、その理解についても深まってきている。
●初期研究体制の構築と充実化については、ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築体制（加藤・三井）と実験検証体制（加藤・斎藤）、および代数幾何学や数論幾何学など既存の幾何学体系への応用企画体制（加藤・斎藤・三井）という基本的な研究体制の足場を踏まえて、さらなる発展へ向けてその基盤環境の充実をプロモートしている。この基盤体制に基づいて、研究の戦略的・発展的推進を積極的に推し進めている。
●以上より、技術的な側面で大きな壁にぶち当たっているという状況ではあるが、それを乗り越えるだけの研究体制と、状況の深い理解に達している。その意味では、順調であると言える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要において記したように、本研究の初期体制における「基盤構築」・「応用企画」・「研究体制構築」のいずれにおいても、強力な体制がとられ、より深い理解に向けて積極的かつ戦略的な研究を推進することができるようになってきている。またピラ・ウィルキー型定理への応用においては、本質的な問題点が明らかになってきている。ヘンゼル的リジッド幾何学の基礎の構築については確かに技術的に大きな困難にぶち当たっており、そのため研究は期待以上に進んでいるというわけではなくなっているが、これも一時的なものであり、いずれ乗り越えられるものと期待している。
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| Strategy for Future Research Activity |
●ハイブリッド型幾何学の基盤構築の第一項目であるヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築については、できるだけ早く、コホモロジー理論における技術的困難の所在を明らかにし、これを乗り越え、より合理的で新しい枠組みの構築に向けた研究を継続する。これを踏まえて、当初の目標であった、ザリスキー主定理のヘンゼル的類似などの〈拡張可能性質〉の一般論を構築する。
●ハイブリッド型幾何学の基盤構築の第二項目である、ピラ・ウィルキー型定理への応用に現れる、大域的なベース空間上のリジッド幾何学については、その基礎部分の構築を進め、ピラ・ウィルキー型定理の証明に必要となる「stratified Noether normalization theorem」の確立を目指す。
●楕円曲線や志村多様体などの代数・数論幾何学的対象の構造理解や、その部分多様体や代数サイクルの理解、特に対数的幾何学的な視点を交えたこれらの理論への視角への応用については、その方向性をより明確化し、ハイブリッド型幾何学がそれらの問題に対してどの程度強力なものであるかについて、さらに深い理解を得ることを目指す。
●これらの研究計画を遂行する上での研究体制を高いレベルで維持するために、さらに高いレベルの研究や具体的な応用問題の探索など、新しい方向性を見据えた研究の展開を図る。そのための具体的方策として、引き続き、(1) ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築の発展的継続(加藤・三井) (2) 実験数学による検証(加藤・斎藤) (3) 代数幾何学・数論幾何学および対数的幾何学への応用(加藤・斎藤・三井)という、前年度までの基本的な3体制の発展的継続と戦略的推進に加え、(4) 有理点問題への応用可能性の探求を新しい研究体制の軸に据えることとする。
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