2020 Fiscal Year Annual Research Report
The new development of rigid geometry --- construction of a new hybrid geometry and exploration of its applications
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17H02832
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
加藤 文元 東京工業大学, 理学院, 教授 (50294880)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50153804)
三井 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 助教 (70644889)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リジッド幾何学 / 数論幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
●ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築について：その実質的な作業段階において、従来からの技術的困難に加えて、より基本的な部分の困難についてより詳細な状況確認を行うことができた。すなわち、コホモロジーの計算に必要な定理Aおよび定理Bが一般に成り立たないこと を受けて、どのような状況を考え、どのようにこの困難を回避するべきかについての集中的な考察を行った。この基礎理論構築は、まだ道半ばであり、当初の計画を少々遅れているものと推察される。当初考えていたより、技術的部分における困難の所在は深く、当初予想していた方向のみでは完全な解決は難しいものと考えられる。
●解析多様体の有理点に関するピラ・ウィルキー型の定理への非アルキメデス的側面からの応用については：ワイツマン研究所(イスラエル)のGal Binyamini氏との共同研究を継続し、数体上の形式冪級数代数上のリジッド幾何学の構築、およびネーター正規化定理の証明は完全に終了した。これを受けて、すでに高さの計算への応用的展開を開始している。
●初期研究体制の構築と充実化については、ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築体制(加藤・三井)と実験検証体制(加藤・斎藤)、および代数幾何学や数論幾何学など既存の幾何学体系への応用企画体制(加藤・斎藤・三井)という基本的な研究体制の足場を踏まえて、さらなる発展へ向けてその基盤環境の充実をプロモートしている。この基盤体制に基づいて、研究の戦略的・発展的推進を積極的に推し進めている。
●以上より、技術的な側面では依然として大きな壁にぶち当たっており、当初の進度を遅れているものと思われるが、それを乗り越えるだけの研究体制と、状況の深い理解に達している。その意味で、進度は若干遅れているが、理解の深まりは順調であると言える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究実績の概要において記したように、本研究の初期体制における「基盤構築」・「応用企画」・「研究体制構築」のいずれにおいても、強力な体制がとられ、 より深い理解に向けて積極的かつ戦略的な研究を推進することができる研究基盤は十分に構築されている。また、ピラ・ウィルキー型定理へのリジッド空間論の応用については、大きな進展が得られ、間も無く理論は完成するところまできている。その反面、ヘンゼル型リジッド空間論におけるコホモロジー理論の構築に向けた基礎の段階で、極めて重要な技術的困難にぶち当たっており、依然としてこれについてブレークスルー的な進展が得られていない。そのため、研究体制として理解は深まってきていると十分に推察されるが、現時点での目に見える結果としては、全体として若干ながら遅れていると言わざるを得ない。
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| Strategy for Future Research Activity |
●ハイブリッド型幾何学の基盤構築の第一項目であるヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築については、前年度と同様に、できるだけ早くコホモロジー理論における技術的困難の所在を明らかにし、これを乗り越え、より合理的で新しい枠組みの構築に向けた研究を継続する。これを踏まえて、当初の目標であった、ザリスキー主定理の ヘンゼル的類似などの〈拡張可能性質〉の一般論を構築する。
●ハイブリッド型幾何学の基盤構築の第二項目である、ピラ・ウィルキー型定理への応用に現れる、大域的なベース空間上のリジッド幾何学については、その基礎部分の構築から進んで、ピラ・ウィルキー型定理の証明の本体に必要となる高さの理論への応用を展開する。
●楕円曲線や志村多様体などの代数・数論幾何学的対象の構造理解や、その部分多様体や代数サイクルの理解、特に対数的幾何学的な視点を交えたこれらの理論への視角への応用については、ヘンゼル的リジッド空間論の進展の遅れを克服し、ハイブリッド型幾何学がそれらの問題に対してどの程度強力なものであるかについて、さらに深い理解を得ることを目指す。
●これらの研究計画を遂行する上での研究体制を高いレベルで維持するために、前年度と同様の高いレベルの研究や具体的な応用問題の探索など、新しい方向性を見据えた研究の展開を図る。そのための具体的方策として、前年度に引き続き、(1) ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築の発展的継続(加藤・三井) (2) 実験数学による検証 (加藤・斎藤) (3) 代数幾何学・数論幾何学および対数的幾何学への応用(加藤・斎藤・三井)という、前年度までの基本的な3体制の発展的継続と戦略的推進に加え、(4) 有理点問題への応用可能性の探求を新しい研究体制の軸に据えることとする。
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