Geometry and analysis on metric measure spaces based on the theory of Markov processes and optimal mass transport

2021 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17H02846
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Fukuoka University
• Principal Investigator: Kazuhiro Kuwae 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 太田 慎一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00372558) ; 石渡 聡 山形大学, 理学部, 准教授 (70375393) ; 塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507) ; 桑田 和正 東北大学, 理学研究科, 教授 (30432032)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: ディリクレ形式 / マルコフ過程 / リーマン多様体 / 測度距離空間 / 曲率次元条件 / RCD空間 / MCP空間

Outline of Final Research Achievements

Kuwae proceed the stochastic analysis for Markov processes for analysis and geometry of metric measure spaces. On the other hand, he establishehd a new Liouville type theorem and rigidity theorem on geometric analysis for Riemannian manifolds. Kuwae and Kuwada studied a stochastic analysis on RCD-spaces and obtained a remarkable result. Also Kuwada and Ohta investigated a geometric analysis on RCD-spaces and obtained a rigidity theorem. Shioya also established convergence theory of metric measure spaces in terms of concentration of measure phenomena and geometric analysis on Riemannian manifolds. On the other hand, Ohta also gave an important result on Rimannian manifolds and Finsler manifolds. Finally, Ishiwata studied asymptotic behavior of non-symmetric random walk on nilpotent Lie group and the long time behavior of heat kernel over connected sum of Riemannian manifolds.

Free Research Field

マルコフ過程とディリクレ形式

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

本研究課題である測度距離空間はリッチ曲率が下に有界なリーマン多様体を一般化した概念である。我々が存在する時空は重力によって曲がった空間であり、それは擬リーマン多様体として数学的に定式化される。研究課題で研究を進めた測度距離空間上の幾何学と解析学の成果は空間が変化して収束していったときに極限状態の空間においても通常の場合と同じ結果かあるいは異なるかの指針を与えるものであり、我々の住んでいる空間を根本的に理解する上で意義深いものである。