2017 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of elliptic operators and its applications to Geometric Function Theory
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17H02847
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
志賀 啓成 東京工業大学, 理学院, 教授 (10154189)
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
相川 弘明 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20137889)
柳原 宏 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30200538)
船野 敬 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40614144)
坂口 茂 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (50215620)
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 双曲計量 / 双曲距離 / シストール / ベルトラミ方程式 / レヴナー方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
リーマン面上の双曲計量について，様々な角度から研究を行った．リーマン球面から３点以上を抜いて得られる領域は双曲計量を持つことが知られているが，その計量が誘導する双曲距離の一様な評価を行った．現状では比較の際のリプシッツ定数は面のシストール（最短閉測地線）の長さに依存するものとなっているので，それを完全に一様なものにすべく改良を進めた．錐特異性を持つ双曲計量についても多角形貼り合わせによって構成された錐計量のなすモジュライ空間について研究を行った．
単葉調和函数の研究において基本的となる，与えられた第２複素歪曲度と与えられた像領域を持つ単葉調和函数の存在と一意性について検討を行った．このために，”第２ベルトラミ方程式”の解空間の構造について，偏微分方程式論や調和解析を用いて解析を行い，その基本的な性質をある程度明らかにした．解の存在については，ベルトラミ係数のノルムが１である場合が最も困難であるが，正規族のアイデアがどの程度適用可能かについて検討を加え，ある程度の成果を得た（が，まだ論文として発表するにはさらなる研究が必要である）．これらの研究は華僑大学のZhu氏を研究協力者として行った．また，Holon工科大学のGolberg氏とは高次元擬等角写像の研究をスタートし，いくつかのアイデアを得た．
単葉函数の研究についても，レヴナー方程式を用いた研究や，従属性(subordination)により定まる部分族の研究を行うため，Schurのアルゴリズムを深く理解するなど，いくつかの補助的な研究を行った．また，レヴナー方程式の一般化として，単連結領域に限らず，一般領域やさらにはリーマン面に対してレヴナー方程式を考察し，さらなる理論展開を模索した（研究分担者・柳原氏との共同研究）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定通り，いくつかの研究の方向に沿って研究分担者や海外の研究協力者らと研究を進め，部分的ながらもそれなりに成果が現れつつある．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後もこれまで通りの研究体制で研究を進める．また，これまで得られた成果をもとに，今後はそれをさらに拡充しつつ，論文として発表する準備を進める．
また，国内外における研究集会にも積極的に参加し，情報交換を行い研究討論をはかる．また，海外の研究協力者ともさらなる研究討論を行うため，それらの協力者を招聘したりあるいはこちらから赴くことにより，研究交流を進める．
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