2020 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of elliptic operators and its applications to Geometric Function Theory
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17H02847
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
志賀 啓成 京都産業大学, 理学部, 教授 (10154189)
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
相川 弘明 中部大学, 工学部, 教授 (20137889)
柳原 宏 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30200538)
船野 敬 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40614144)
坂口 茂 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (50215620)
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 擬等角写像 / タイヒミュラーの定理 / 係数問題 / モジュラー方程式 / モジュラス距離 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究費については再繰越を行ったため2020-2022年度の3年分の実績を含む．
研究代表者の一つの重要な研究テーマは高次元擬等角写像の増大度評価であり，Vuorinen氏（Turku大学，フィンランド），Golberg氏（Holon工科大，イスラエル）との共同研究による．これにはモジュラスが十分大きな環状領域が必ず同程度のモジュラスを持つ標準環状領域を含むという平面上のタイヒミュラーの定理を高次元の場合に拡張したもので，それを用いて高次元擬等角写像のヘルダー連続性の別証明を与えた．この方法は汎用性が高く，今後も多方面に応用が見いだされると期待される．
また，単位円板上の等角写像の係数問題に関連して単葉函数の対数係数のある種の無限和に関する最良評価を行い多くの興味深い不等式を組織的に導く方法を提示した（Ponnusamy氏，インド工科大学マドラス校，との共同研究）ほか，凸状函数の逆函数の最良な係数評価の研究を行い，その分野に新しい研究方法や知見をもたらした．
それ以外にも，Ramanujanのモジュラー方程式の解に対して，フックス群を用いた初等的かつ幾何的な導出を行った（Alam氏，当時の須川研大学院生，との共同研究）．Ramanujanが解の公式を証明なしに発表して以来，前世紀末にヤコビのテータ級数に関する深い関係式などを駆使してようやく証明されたのだが，我々の方法は公式を知らずとも導くことが可能であることがメリットとなっている．
また，Vuorinen氏（既出），Tanran Zhang氏（蘇州大学，中国）とモジュラス距離と呼ばれるVuorinen氏によって導入されていた距離を研究し，それが完備であるためにはMartioの条件が満たされることであることを示したほか，モジュラス距離を用いて領域の境界の一様完全性を特徴づけるなど画期的な結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
国内・国外の研究者との共同研究のプロジェクトのうちいくつかがコロナ禍のために予定通り遂行できなかったほか，2020年に予定していた国際研究集会もコロナ禍により開催することができなかった．さらに東北複素解析セミナーは３年間一度も行うことができなかった（オンラインで行うことに意味はないと考えたため，この間の開催は断念した）．
一方，再繰越を行い，3年間の研究期間が得られたことで，通常より時間がかかったものの，当初想定していた程度の研究の進展はあった．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究自体はある程度順調に推移したが，コロナ禍のために発表の機会があまりなかったことは残念である．また，論文を完成させるにはまだ研究者同士の対面での討論が必要なものもある．今後も発表や研究討論の機会を作って本研究を推進していく所存である．
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