2017 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of concentration phenomena for nonlinear wave and dispersive equations
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17H02853
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
堤 誉志雄 京都大学, 理学研究科, 教授 (10180027)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
前田 昌也 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (40615001)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70507954)
阿部 健 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80748327)
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ３次分散項 / 高階非線形シュレディンガー方程式 / 共鳴周波数 / 初期値問題 / 負の指数のソボレフ空間 / 解の非一意性 / 非共鳴条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は３階分散項を持つ非線形シュレディンガー方程式の初期値問題を通して，３次非線形項から生じる共鳴周波数と解の正則性および特異性の関係を研究した．非線形シュレディンガー方程式の高次拡張を考える際に，３次分散項の導入は数理物理的に自然である．また，３次分散項付き非線形シュレディンガー方程式は修正KdV方程式と類似の構造を持つが，完全可積分系ではないため，それとの相違を研究することは非常に興味深い．特に，スケーリングの観点からは，３次分散項付き非線形シュレディンガー方程式は，修正KdV方程式の結果に対して，ソボレフ空間の指数が1/2だけ下げられることが予想されていた．本年度は，３次分散項付き非線形シュレディンガー方程式に対し，指数-1/6より大きな指数のソボレフ空間において，初期値問題が適切となることを示した．初期値問題が適切であるとは，(a)解が時間局所的に存在，(b)解の一意性，(c)初期値に関する解の連続依存性の３つが成立することである．非線形発展方程式に対して，初期値問題が適切となる最も広い空間は何か，と言う問題は非線形偏微分方程式論において基本的問題である．この結果は，非線形相互作用から生じる共鳴周波数の効果を取り込んだ補助関数空間を導入し，解がその補助空間に属するなら一意性や初期値に関する連続依存性が成立することを示したものである．しかし，その補助関数空間に属さない解が存在するか，という問題が自然に生じる．それについては，2005年にChristが通常に非線形シュレディンガー方程式に対して解の非一意性を示した証明方法を適用することにより，補助空間に属さない解まで考えると一意性が崩れることを証明した．修正KdV方程式に関しては，最近Molinet, Pilod and Ventoにより，解が補助空間に属さなくても一意性が成立することを示したのと対照的である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
KdV方程式などの2次非線形性から生じる共鳴周波数に関しては，多くの研究者により様々な研究成果が報告されている．しかしたとえば，3次非線形性を持つ修正KdV方程式と2次非線形性のKdV方程式はMiura変換によって結ばれるため，3次非線形性を持つ分散型方程式研究は2次非線形性の分散型方程式の結果からすぐに従う研究は多数あったが，3次非線形性独自の研究は必ずしも多くなかった．今回，完全可積分系ではない３次分散項付き非線形シュレディンガー方程式を研究したことは，この方向の研究のさきがけとなるものと期待される．平成２９年度は，非線形シュレディンガー方程式の高階への拡張として，３次分散項付き非線形シュレディンガー方程式を研究した．その結果，３次非線形項から生じる共鳴周波数の影響，特に平滑化効果を解析することにほぼ成功した．これらは，ラマン散乱項のような新しい非線形項が加わった高階への拡張を研究する際に基礎となる．
また，ハミルトン系に対して，減衰項と外力項を付加すると，カオスなどの複雑な現象が起こることが期待される．その方面への研究の第一歩としては，大域アトラクターの存在を証明することが重要である．周期境界条件などのような有界領域上で方程式を考えた場合，ソボレフの埋め込みがコンパクトになるため，強位相での大域アトラクターの存在が証明できる．しかし，ユークリッド空間全体で方程式を考えると，ソボレフの埋め込みのコンパクト性は失われる．これはコンパクト性の欠如と言われる問題の典型例である．共鳴周波数と平滑化効果の関係を明らかにすることにより，コンパクト性を補償することが予想されており，この方面への研究にも取りかかっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
非線形シュレディンガー方程式の高階への拡張は，３階分散項を付けるだけでなく，非線形項にラマン散乱項を付加することも数理物理的には自然である．ラマン散乱項は本来積分形であるが，ラマン利得関数を1次関数で近似 (linear gain approximation) した方程式は，その導出が物理的に最もらしい上に数値計算が簡単であると言う理由にから，今までモデル方程式として広く物理学者の間で使われてきた．しかしその一方で，数値計算の精度に疑問が提出されたり，物理的に不自然な解が数値的に計算されてしまうことが，最近報告されるようになった．数学的には実数直線上，すなわち，空間無限遠でゼロとなる条件の下で従来研究されてきた．ところが，数値計算はほとんどの場合，周期境界条件の下で行われる．そのため，周期境界条件の下でのラマン散乱項付き非線形シュレディンガー方程式の初期値問題を研究することが重要となる．実際，ラマン散乱項付き非線形シュレディンガー方程式をフーリエ波数空間で書き直してみると，時間変数と空間変数に関するコーシー・リーマン型の楕円型作用素が現れることが分かった．これは，初期値問題の不適切性あるいは数値計算精度の低下に，つながるものと予想される．ただし，これだけで数学的な初期値問題の不適切性を証明したことにはならない．なぜなら，非線形項から生じる特異性とコーシー・リーマン型作用素から生じる特異性が相殺し，全体としては初期値問題が適切となる可能性もあり得るからである．このシナリオを廃除するために，平成29年度の研究成果である共鳴周波数と平滑化効果の関係が役に立つとはずである．これらを研究するため，当該分野の専門家との研究交流が不可欠である．特に，フランス，ドイツ，米国の研究者との意見交換が重要となる．
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Research Products
(4 results)
