2018 Fiscal Year Annual Research Report
Innovative research of geometric topology and singularities of differentiable mappings
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17H06128
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大本 亨 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20264400)
鎌田 聖一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
石川 昌治 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10361784)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
岩瀬 則夫 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60213287)
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| Project Period (FY) |
2017-05-31 – 2022-03-31
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| Keywords | 特異点論 / 特異Lefschetz束 / trisection / shadow / 安定写像 / Vassiliev型不変量 / はめ込まれた曲面結び目 / 位相的複雑さ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，トポロジーにおける幾何的アイデアを特異点論の世界に持ち込み，既存の概念・定式化・手法を革新し，写像の特異点論の飛躍的発展を図ること，そして逆に幾何的トポロジーに特異点論から新しい道を切り開き，重要な問題の解決を図ることが目的である．
平成30年度は，4次元多様体上の特異写像の変形操作のうち常に実現可能であるものをリストアップし，それを用いて写像を単純化するアルゴリズムを確立した．その結果，特異シンプレクティック構造に付随した特異Lefschetz構造の存在や，単純化されたtrisectionの存在を，具体的かつ構成的に証明することに成功した．さらに，A'Campo の divide を Turaev の shadow と関連付け，LF-property と呼ばれるLefschetz束構造を shadow の上に確立した．Shadow は3次元多様体から平面への安定写像と深く関係し，今回の研究で複素特異点とそうした安定写像を shadow という枠組みで包括的に研究する基礎付けができたことになる． 我々はさらに，3次元多様体上の安定写像に対する新しいVassiliev型不変量を構成することにも成功した．また，4次元空間にはめ込まれた曲面についても研究し，H自明と呼ばれる絡み目を新たに定式化することで，はめ込まれた曲面結び目の marked graph diagramを定式化することに成功した．ホモトピー論の側面からは，LS理論に対する手法をファイバーワイズ理論によって拡張することで位相的複雑さに応用し，向き付け不可能曲面の位相的複雑さの決定を著しく単純化することなどに成功した．その他，諸科学分野への応用についても研究し，結晶のらせん転位の数学的記述とエネルギーの計算について結果を得た．また，学術研究員を2名雇用し，幾何的トポロジーと特異点論の研究を推進した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
4次元多様体上の特異写像の単純化アルゴリズムを確立し，特異Lefschetz束構造から単純なtrisectionを構成する手法を開発したことは，当該分野に大きなインパクトを与えた．このことは，論文がProc. Natl. Acad. Sci. USAに掲載されたことや，国際会議における招待講演を複数依頼されたことなどからも伺える．また，複素特異点に対してA'Campoが定式化したdivideを，Turaevが量子不変量の観点から導入したshadowと関連付け，LF-propertyと呼ばれるLefschetz束構造を確立した結果は，2つの概念を意外な形で結びつけるものとして注目に値する．特にshadowは3次元多様体上の安定写像と関係し，今回の成果は複素特異点と安定写像を包括的に研究する基礎付けを与える．我々はさらに3次元多様体上の安定写像に対する新しいVassiliev型不変量を，4次元多様体の符号数を用いて構成した．こうした一連の研究は低次元幾何的トポロジーのアイデアを特異点論の世界に持ち込み，特異点論を新たに進展させるものであり，本研究課題が順調に進展していることを示す．今年度はさらに，4次元空間にはめ込まれた曲面結び目のmarked graph diagramの定式化にも成功し，研究の基礎付けも与えた．特異点を持つ結び目の困難性をH自明絡み目を定式化することで乗り越え，成果を得た．ホモトピー論的側面からは，特異点論と関係の深いLS理論の手法をファイバーワイズ理論で拡張することで位相的複雑さに応用し，今後の研究の方向性を示した．雇用した学術研究員は，特異点論に基づく同境群と古典的な多様体のSKK群の同型性を示すなど，顕著な活躍を行った．また，代表者を中心に特異点論の諸科学分野への応用共同研究を行うこともできた．総じて，本研究課題は順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も，可微分写像の大域的特異点論の重要課題に対して，幾何的トポロジーや低次元トポロジーの手法やアイデアを本質的に用いながら，当初計画したような形で研究を進めてゆく．また，それだけではなく，多項式写像の位相的研究も進め，実代数幾何的特異点論や4次元多様体論などを駆使しながら，4次元ポアンカレ予想の否定的解決に至る可能性のある可縮4次元多様体をMilnorファイバーにもつ多項式写像芽を構成してゆく．さらに，3次元多様体上の安定写像に対して，4次元多様体の符号数を用いて構成した不変量はorder 1のVassiliev型不変量となるが，そうしたものが他にもないか，対応するVassiliev複体を計算することで詳しく調べていく．また，そうした不変量が既存の量子不変量とどう関係するのかを，4次元多様体上の安定写像とその特異ファイバーを見極めることで明らかにしてゆく．一方，3次元多様体上の安定写像の特異点集合と正則ファイバーはそれぞれ（互いに交わらない）絡み目をなすが，それらの位置関係に関する研究はこれまでになかった．そこでそれらの関係を明らかにし，特異点集合が正則ファイバーと絡まない条件を決定することで，特異点を持たない写像，すなわち沈めこみに対する応用を考える．さらに，特異点論のデータ可視化への応用として，特異ファイバーを同定するアルゴリズムを，その分類理論に基づいて確立し，具体的なデータの可視化に役立てるべく，当該分野の研究者との共同研究を推進してゆく．そのためには，位相的データ解析の手法や統計手法と組み合わせることも必要となることが予想され，そうした分野の研究者の協力を得て，研究を進めてゆく．また，写像の特異点論の立場から多目的最適化におけるパレート集合の分類や特徴づけの問題にも取り組む．
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