2019 Fiscal Year Annual Research Report
Innovative research of geometric topology and singularities of differentiable mappings
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17H06128
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大本 亨 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20264400)
鎌田 聖一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (60254380)
石川 昌治 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10361784)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
岩瀬 則夫 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60213287)
小林 真人 秋田大学, 理工学研究科, 准教授 (10261645)
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| Project Period (FY) |
2017-05-31 – 2022-03-31
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| Keywords | 安定写像 / Vassiliev型不変量 / 絡み数 / 符号数 / 相対的特性類 / 沈めこみ / 非特異ファイバー / 特異点集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，トポロジーにおける幾何的アイデアを特異点論の世界に持ち込み，既存の概念・定式化・手法を革新し，写像の特異点論の飛躍的発展を図ること，そして逆に幾何的トポロジーに特異点論から新しい道を切り開き，重要な問題の解決を図ることが目的である．本年度は，3次元多様体上の安定写像について調べ，新しいVassiliev型不変量を構成することに成功した．実際我々は，非特異ファイバー達から決まる絡み数行列を定式化し，その符号数を用いて既存の不変量の新しい公式を導き出した．なお，4次元多様体を用いた別の定義から，これがVassiliev型不変量であることがわかる．安定写像は与えられた3次元多様体上にある種の構造を与えていると見ることもでき，これはそうした構造に対する不変量を与えていると考えることもできる．我々はさらに，3次元多様体上の安定写像の非特異ファイバーからなる絡み目と，特異点集合からなる絡み目の位置関係について詳しく調べた．その結果，非特異ファイバーを与えたとき，その補空間の絡み目が，安定写像の特異点集合として現れるための必要十分条件を，相対的な特性類を用いて記述することに成功した．それを用いて，非特異ファイバーと特異点集合が互いに絡まないことがあることを突き止め，具体例も与えた．これまで非特異ファイバーと特異点集合が絡む例しか見つかっていなかったことから，この具体例のインパクトは大きい．さらに，特異点集合が非特異ファイバーと絡まない場合に，その特異点集合を無限遠に逃がすことで，非コンパクト3次元多様体内に与えられた絡み目が，3次元多様体から平面への沈め込みのファイバーとして現れるための必要十分条件に関する既存の結果に対する，特異点論的な新しい証明を与えることに成功した．また，学術研究員を2名雇用し，幾何的トポロジーと特異点論の研究を推進した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
我々は3次元多様体上の安定写像の新しいVassiliev型不変量を構成した．さらに3次元多様体上の安定写像の非特異ファイバーからなる絡み目と，特異点集合からなる絡み目の位置関係について詳しく調べた．その結果，特異点集合が非特異ファイバーと絡まないことがいつ起こるかを突き止め，絡まない場合に，特異点集合を無限遠に逃がすことで，非コンパクト3次元多様体内に与えられた絡み目が，平面への沈め込みのファイバーとして現れるための必要十分条件に関する既存の結果（Hector－Peralta-Salas，Miyoshi）に対する，特異点論的な新しい証明を与えることに成功した．これは，それまで沈め込みに対するホモトピー原理を用いて証明されてきた結果に対して，より構成的で初等的な証明を与えるものとして意義が大きい．特異点論は元来，特異点を持った写像に対して適用されるものであるが，今回のように，特異点を持たない沈め込みの構成に使えることがわかり，これは特に力学系や，葉層構造理論への応用もあることを示唆している．特異点を無限遠に逃すという考え方は斬新で，非特異な対象を構成する大きなカギになるとも言え，波及効果は大きく，これは本研究課題が当初の目標を超えて進展していることを示している．総じて，本研究課題では，当初の目標を超える研究の進展があり，予定以上の成果が見込まれるといえる．こうした一連の研究は低次元幾何的トポロジーのアイデアを特異点論の世界に持ち込み，特異点論を新たに進展させるものであり，本研究課題が順調に進展していることを示す．今年度はさらに，雇用した学術研究員が，特異点論に基づく同境群と古典的な多様体のSKK群の同型性を示すなど，顕著な活躍を行った．また，代表者を中心に特異点論の諸科学分野への応用共同研究を行うこともできた．総じて，本研究課題は当初の計画以上に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで多様体の構造が写像の特異点等にどのように影響するかについて研究し，定値折り目特異点と可微分構造の深い関係を発見した．さらに今回，学術研究員により折り目特異点の指数に制限を置いた写像に関しても同様の現象が指摘されている．一方，特異ファイバーに関しては可微分構造との関係は明らかにされてきていない．岩瀬はこれまでLSカテゴリーの手法により空間の位相的複雑さの決定にある程度成功している．LSカテゴリーは関数の臨界点の個数の下からの評価を与えるものとして導入されたホモトピー不変量で，可微分構造をとらえているとは考えにくいが，一方で，もし特異ファイバーの消去がホモトピー原理に従うのであれば，可微分構造の情報はとらえられないはずである．特異ファイバーに対し，いつホモトピー原理が成り立つのかは重要な課題であり，今後はこれも研究課題に加える．写像のVassiliev型不変量については今回，3次元の場合に新しい不変量を提案したが，それと既知の不変量を合わせたもので尽くされているかどうか知られていない．そのためには4, 5次元多様体上の安定写像の特異ファイバーの隣接関係を調べ，Vassiliev型普遍複体のコホモロジーを計算しなければならないが，その作業は困難を極める．今後はこれも新たな課題として計画に加える．3次元多様体上の整数値Vassiliev型不変量の研究はこれまでになく，これができれば3,4次元多様体論に新しい観点を導入することになる．また，諸科学分野への応用については，多目的最適化理論におけるパレート解集合の大域的な研究に特異点論が大きな役割を果たすことが，研究協力者らの最近の研究で明らかにされてきている．今後は特異ファイバー理論を組み合わせてパレート解集合の可視化に役立てることが求められており，これも新しい研究課題として加える．実問題への応用上，極めて重要な研究課題である．
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