2020 Fiscal Year Annual Research Report
Innovative research of geometric topology and singularities of differentiable mappings
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17H06128
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大本 亨 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20264400)
鎌田 聖一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (60254380)
石川 昌治 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10361784)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
岩瀬 則夫 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60213287)
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| Project Period (FY) |
2017-05-31 – 2022-03-31
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| Keywords | Reeb空間 / Reebグラフ / 臨界値 / LSカテゴリー / 位相的複雑度 / スペシャル・ジェネリック写像 / コホモロジー環 / ファイバー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，トポロジーにおける幾何的アイデアを特異点論の世界に持ち込み，既存の概念・定式化・手法を革新し，写像の特異点論の飛躍的発展を図ること，そして逆に幾何的トポロジーに特異点論から新しい道を切り開き，重要な問題の解決を図ることが目的である．令和２年度は，特異点をもった可微分写像の大域的構造を調べる際に重要な役割を果たす，ファイバーの連結成分からなるReeb空間に着目して研究を行った．特に関数の場合にはそれがグラフになることがいくつかの場合には示されていたものの，それを統一的に扱う結果はなかった．そこで佐伯は，臨界値が有限個しかない可微分関数について，そのReeb空間が常にグラフ構造を持つという決定的な結果に厳密な証明を与えることに成功した．この意義とインパクトは大きく，当該論文は出版されて間もないが，既に多数の論文で引用されている．また，与えられたグラフと，各辺上の非特異ファイバーを与えたときに，それらを可微分関数で実現できるための必要十分条件も与えた．こうしたグラフは，たとえば関数データの可視化でも重要な役割を果たすため，データ可視化分野に与える影響も大きい．
また，分担者の岩瀬は，ロボット・モーション・プラニングにかかわる位相的複雑度と，LSカテゴリーの間の関係について明らかにする新しい結果を得た．
さらに，雇用した学術研究員が，定値折り目特異点しか特異点を持たない写像（スペシャル・ジェネリック写像）の存在について，コホモロジー環構造を用いた新しい障害を発見し，そうした写像の存在性について新しい知見を得ることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
これまで，当該分野では可微分関数のReeb空間が，大抵の場合グラフになることが知られていたが，あまり厳密な証明や定式化がなかった．しかしながら今回の研究により，臨界値が有限個であれば，常にReeb空間がグラフとなることを，位相空間論を巧みに用いることで証明することに成功した．それまでこうした厳密な定式化がなかったため，本結果の当該分野に与えたインパクトは大きく，論文の発表直後から，その結果に基づく論文が多数発表されるなど，波及効果は大きく，これは本研究課題が当初の目標を超えて進展していることを示している．さらに雇用した学術研究員が新しいアイデアのもと，ある種の写像の存在に関する，新しく効果的な障害を発見して，当該分野に新鮮な貢献をした．総じて，本研究課題では，当初の目標を超える研究の進展があり，予定以上の成果が見込まれるといえる．こうした一連の研究は低次元幾何的トポロジーのアイデアを特異点論の世界に持ち込み，特異点論を新たに進展させるものであり，本研究課題が順調に進展していることを示す．また，代表者を中心に特異点論の諸科学分野への応用共同研究を行うこともできた．総じて，本研究課題は当初の計画以上に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで多様体の構造が写像の特異点等にどのように影響するかについて研究し，定値折り目特異点と可微分構造の深い関係を発見した．一方，特異ファイバーに関しては可微分構造との関係は明らかにされてきていない．岩瀬はこれまでLSカテゴリーの手法により空間の位相的複雑さの決定にある程度成功している．LSカテゴリーは関数の臨界点の個数の下からの評価を与えるものとして導入されたホモトピー不変量で，可微分構造をとらえているとは考えにくいが，一方で，もし特異ファイバーの消去がホモトピー原理に従うのであれば，可微分構造の情報はとらえられないはずである．特異ファイバーに対し，いつホモトピー原理が成り立つのかは重要な課題であり，今後はこれも研究課題に加える．写像のVassiliev型不変量については，3次元の場合に新しい不変量を提案したが，それと既知の不変量を合わせたもので尽くされているかどうか知られていない．そのためには4, 5次元多様体上の安定写像の特異ファイバーの隣接関係を調べ，Vassiliev型普遍複体のコホモロジーを計算しなければならないが，その作業は困難を極める．今後はこれも新たな課題として計画に加える．さらに，Reeb空間を用いた不変量の可能性についても調べる必要がある．また，諸科学分野への応用については，多目的最適化理論におけるパレート解集合の大域的な研究に特異点論が大きな役割を果たすことが，研究協力者らの最近の研究で明らかにされてきている．今後は特異ファイバー理論を組み合わせてパレート解集合の可視化に役立てることが求められており，これも新しい研究課題として加える．実問題への応用上，極めて重要な研究課題である．
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[Book] Fiber Topology Meets Applications2021
Author(s)
Daisuke Sakurai, Shigeo Takahashi, Naoki Hamada, Osamu Saeki, Hamish Carr, Takahiro Yamamoto
Total Pages
101
Publisher
Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University
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