2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05161
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
澤邉 正人 千葉大学, 教育学部, 教授 (60346624)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 部分群複体 / 表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主対象は, 有限群の非自明なベキ零部分群全体からなる部分群複体である. まず一つの素数 p に対する p-部分群複体の研究成果は筆者のものも含めて多数存在している. 次の段階は, 異なる素数 p,q に対して p-部分群複体と q-部分群複体を同時に考察し, それらを比較することである. そこで p-部分群の自然な拡張であるベキ零部分群に着目するのである. 同じ考え方により, 有限群 G の p-表現と q-表現を同時に考察し, それらを比較することも関連する重要な研究課題である. 以上を踏まえて, ３０年度は p-ブラウアー指標環 Z[IBrp(G)] を取り扱った. Z[IBrp(G)] と一般指標環 Z[Irr(G)] を介して, 対応する分解行列, 射影指標, カルタン行列などの基本的な数学的対象がある. そこで Z[Irr(G)] を経由して Z[IBrp(G)] と Z[IBrq(G)] を結ぶ行列 M でカルタン行列の類似物を新たに導入した. ここで言う類似物とは, カルタン行列の拡張概念ではなく, カルタン行列と同じ考え方で定義した行列ということである. 行列 M はクイバーの表現を用いて定式化出来る. 即ちさらなる一般化の余地を残している. 具体的な研究成果として M の全ての成分は群 G のシロー p-部分群の位数で割り切れることを証明した. さらに M の固有値とその固有空間を全て決定した. 行列 M に関する研究をもう少し掘り下げた後に, 全てをまとめた結果を研究論文として数学専門誌に投稿する予定である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
p-複体と q-複体, 或いは p-表現と q-表現を同時に考察し, その二つを比較したい. その足掛かりとして p-ブラウアー指標環 Z[IBrp(G)] と q-ブラウアー指標環 Z[IBrq(G)] を結ぶ行列 M でカルタン行列の類似物を導入することが出来た. このことは今後の研究に大きな推進力を与える. 通常のカルタン行列はその単因子と p-ブロックの不足群 D などが関係している. この D は G の Radical p-部分群であり, p-複体の理論に於いて中心的な役割を果たす部分群である. 一方, 本研究課題の中で, 我々は Radical p-部分群複体 Bp(G) の拡張 Lπ(G) を既に導入している. そこで M と Lπ(G) に属する部分群との関係にも大きな興味が注がれる. 以上の理由から, 本研究は概ね順調に進展していると判断するものである.
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| Strategy for Future Research Activity |
３０年度の研究成果を踏まえて, Z[IBrp(G)] と Z[IBrq(G)] を結ぶ行列 M のさらなる性質（単因子や関連する部分群との関連など）を追求する。また今回導入した行列 M 以外にも Z[IBrp(G)] と Z[IBrq(G)] を結ぶ数学的対象 L は考えられる. M と L の関係を考察する. 群 G の部分群 H と G の位数を割り切る素数 q を共に全て走らせ Z[IBrq(H)] をクイバーの表現を用いて記述する. Z[IBrq(H)] 上に（複数の）内積を定義する. この状況の下で Z[IBrq(H)] と Z[IBrp(K)] の関係を明らかにする. またカルタン行列が不足群と関係していたように, 上記クイバーの表現と, 既に我々が導入しているある種のベキ零π-部分群 U ∈ Lπ(G) を関連づける. Z[IBrp(G)] は一般指標環の p-正則元への制限である. そこでπ-正則への制限も視野に入れて研究を進める.
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