Research on open algebraic surfaces and normal algebraic surfaces

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K05198
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: KOJIMA Hideo 新潟大学, 自然科学系, 教授 (90332824)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 代数幾何学 / 開代数曲面 / 正規代数曲面 / 対数的小平次元 / 正規デルペッゾ曲面 / 多項式環 / 導分

Outline of Final Research Achievements

I have studied open algebraic surfaces, normal projective surfaces and kernels of derivations on polynomial rings. I classified the open algebraic surfaces of logarithmic Kodiara dimension zero with defect ≦ 1. And, I classified the affine plane curves whose complements have logarithmic Kodaira dimension ≦ 0 in any characteristic and proved that every normal del Pezzo surfaces of rank one with only rational log canonical singularities can have at most one non Kawamata log terminal singular points. I classified cuspidal rational curves on Q-homology projective planes whose complements have logarithmic Kodaira dimension -∞ and determined the structure of log del Pezzo surfaces of rank one containing the affine plane. Moreover, I determined the kernels of monomial derivations on the polynomial ring in two variables over a UFD of characteristic zero.

Free Research Field

代数幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

これまで、アフィン代数幾何学の研究は基礎体の標数が０となる場合が中心であり、正標数の場合の研究は殆ど進展していなかった。本研究で得られた成果により、正標数の開代数曲面の構造解明が進み、正標数のアフィン代数多様体の研究が進展する。また、小平次元０の射影代数多様体のクラスは楕円曲線等の重要な代数多様体を含んでおり、このことから対数的小平次元が０となる開代数曲面に関して本研究で得られた結果は様々な分野への応用が期待される。他に、多項式環の導分とその核に関する結果と整域上の多項式環の座標に関する結果も得たが、これらは多項式環の自己同型群を研究する上で重要になってくる。