q-Riemann Hilbert correspondence nad related topics

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K05199
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Osaka Electro-Communication University (2019-2023); Toyohashi University of Technology (2017-2018)
• Principal Investigator: Ito Ko-Ki 大阪電気通信大学, 共通教育機構, 特任准教授 (30456842)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: q差分加群 / リーマン・ヒルベルト対応 / ドラーム複体

Outline of Final Research Achievements

The Riemann-Hilbert correspondence assigns a linear differential equation whose solution space is finite dimensional to the solution space with derived topological data. Concretely, derived topological data described by homology cycles or de Rham cohomology classes. In fact, de Rham cohomology classes are represented by differential forms and homology cycles play rolls as integration paths. The integrals of thoseforms along those paths define special functions as the hypergeometric functions. That correspondence gives a categorical equivalence. In our research, we discover a parallel story in the world of q-analysis.

Free Research Field

代数解析

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

リーマン・ヒルベルト対応のq類似という言葉は、実は、方々で言われている。しかし、それら相互の関係ははっきりとはみえにくい。その原因として、言葉や基礎概念が整備されていない為、交通整理ができてなかったことがあげられる。本研究では、それらをクリアにする言語・基礎概念を提供するものとなっている筈である。それだけにとどまらず、q差分方程式論の基礎理論を整備するよい言葉であると期待できる。もう一つの意義は、q特殊函数に関するドラーム理論を記述するよい言葉を提供する点である。この土台の下に、qドラーム理論における未解決問題の幾つかを解く道が拓かれた筈である。