Obstructions to deforming curves on algebraic varieties and a study on their Hilbert schemes

2020 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K05210
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Tokai University
• Principal Investigator: Nasu Hirokazu 東海大学, 理学部, 准教授 (30535331)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: ヒルベルトスキーム / 変形 / 障害 / ファノ多様体 / エンリケス・ファノ多様体 / K3曲面 / エンリケス曲面 / 空間曲線

Outline of Final Research Achievements

We study some explicit properties of Hilbert schemes, which are one of the most important objects in algebraic geometry. Our main results are the followings:
1. We prove that the Hilbert scheme of smooth connected curves on every prime Fano threefold contains a generically non-reduced component. By this result, an celebrated example due to Mumford (for the projective 3-space) has been extended to the Hilbert scheme of every smooth Fano threefold of Picard rank one.
2. Let X be an Enriques-Fano threefold (called an EF3), that is a singular Fano threefold. We give a sufficient condition for the Hilbert scheme of smooth connected curves on X to have a generically non-reduced component.

Free Research Field

代数幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

マンフォード(1962)は3次元射影空間内の非特異連結曲線のヒルベルトスキームが生成的に被約でない既約成分を有すことを証明し当時の人々を驚かせた。研究成果1では指数rの3次元ファノ多様体に対しこの例の一般化を行なった。r=4の場合はマンフォードの例により、r=3とr=2の場合は向井・那須の結果(2009)により知られていた。残りのr=1の場合（主ファノ三様体）が、K3曲面とその上の円錐曲線を用いることにより解決した。研究成果2については3次元多様体に穏やかな特異点を許し、エンリケス曲面とその上のハーフペンシルを用いて非被約成分を構成した。以上によりマンフォードの例が広範囲に一般化された。