2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05290
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
梁 松 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60324399)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ブラウン運動 / 拡散過程 / 古典力学系 / 確率過程の収束 / 総エネルギー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、拡散過程の古典力学系による導出という研究課題において、特に低エネルギーを持つ環境粒子も存在するモデルについて研究した。具体的には、理想気体と呼ばれる無限個の軽粒子を含む環境に一つの重粒子を入れ、重粒子と軽粒子達の間はあるコンパクトな台を持つ斥力的ポテンシャル関数により与えられる古典力学法則に従って相互作用しながら動くというモデルを考える。軽粒子達の質量が０に収束する（同時に、軽粒子達の速度と密度は一定のオーダーで高くなる）時、重粒子の位置―速度過程がある拡散過程に収束することを証明するのが目的である。重粒子も軽粒子達も同時に動いているのが一番の難点である。
全ての軽粒子の初期エネルギーが十分高い場合についてはすでに研究結果が得られている。その場合、相互作用は軽粒子を止めるのに十分な強さがなく、すべての軽粒子は非常に短時間で相互作用の有効領域を通過する。よって、軽粒子達の挙動は、重粒子が動かないものとして得られる凍結近似で近似することができる。
しかし、軽粒子達の初期エネルギーが十分に高くない場合、上述のような「相互作用有効領域における滞在時間の有界性」は成り立たない。これを直観的に説明するために、凍結近似を用いる。重粒子は固定され、軽粒子は重粒子に向かってまっすぐに近づき、かつ総エネルギーがちょうどポテンシャル関数の最大値と一致する場合、軽粒子がこの最大値を取る位置に到着した瞬間、運動エネルギーが０になるので停止し、それ以上動けなくなる、よって、相互作用有効領域における滞在時間は無限になる。
今年度は、上述の低エネルギーを持つ軽粒子が存在するモデルについて研究し、一定の条件の下で、目標にしている重粒子の位置―速度過程の拡散過程への収束を証明できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初予定として、拡散過程の古典力学系による導出という研究課題において、重粒子と軽粒子達の間の相互作用を与えるポテンシャル関数は有界であり、軽粒子達の初期エネルギーの下限は真に正である場合について、軽粒子達の質量が０に収束し、同時に軽粒子達の速度及び密度が一定のオーダーで高くなるとき、重粒子の位置―速度過程が拡散過程へ収束することを証明するのが目標である。今年度は、これを証明できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
予定通り、拡散過程の古典力学系による導出という研究課題において、（１）ポテンシャル関数は有界であり、軽粒子達の初期エネルギーの下限は０である場合について、（２）ポテンシャル関数は原点の近くでは無限大に発散する（即ち、粒子間距離が０に近づくとき、相互作用は非常に強くなる）場合について、それぞれ研究する予定である。そのとき、Gronwall の補題を拡張する必要がある。また、軽粒子の相互作用有効領域における滞在時間をより精密に評価することにより、低次元の場合についても同問題を考える予定である。
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Research Products
(2 results)
