2018 Fiscal Year Research-status Report
Project/Area Number |
17K05290
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Research Institution | University of Tsukuba |
Principal Investigator |
梁 松 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60324399)
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Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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Keywords | ブラウン運動 / 拡散過程 / 古典力学系 / 確率過程の収束 / 総エネルギー |
Outline of Annual Research Achievements |
「拡散過程のノンランダムな古典力学系による導出」という研究課題において、初期エネルギーが十分高くない環境粒子も存在するモデルについて研究した。具体的には、理想気体と呼ばれる無限個の軽粒子を含む環境に一つの重粒子を入れ、重粒子と各軽粒子の間はノンランダムな古典力学法則に従って相互作用しながら動くとし、また、粒子間相互作用はあるコンパクトな台を持つ斥力的ポテンシャル関数により与えられるというモデルを考える。軽粒子達の質量が0に収束すると同時に、物理法則により、それらの速度と密度も一定のオーダーで高くなる。この時、重粒子の位置―速度過程はある拡散過程に収束することを証明するのが目的である。重粒子も軽粒子達も同時に動いているのが一番の難点である。 初期エネルギーが十分高い軽粒子については、重粒子との相互作用は軽粒子の方向と速度を少ししか変えられず、軽粒子は初期速度の方向に一定の速度を保ったまま非常に短時間で相互作用の有効領域を通過する。よって、軽粒子の挙動は、重粒子が動かないものとして得られる凍結近似で近似することができる。 しかし、軽粒子の初期エネルギーが十分に高くない場合、相互作用有効領域における滞在時間は非常に長くなる可能性がある。これを説明するために、より簡単な凍結近似モデルを考える。重粒子は固定され、軽粒子は重粒子に向かってまっすぐに近づき、かつ総エネルギーがちょうどポテンシャル関数の最大値と一致する場合、軽粒子がこの最大値を取る位置に到着した瞬間、運動エネルギーが0になるので停止し、それ以上動けなくなる、よって、相互作用有効領域における滞在時間は無限になる。
今年度は、上述の低初期エネルギーを持つ軽粒子が存在するモデルについて研究し、一定の条件の下で、目標にしている重粒子の位置―速度過程の拡散過程への収束を証明できた。特に、低次元の場合についても考えた。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初予定として、拡散過程の古典力学系による導出という研究課題において、重粒子と軽粒子達の間の相互作用を与えるポテンシャル関数は有界であるが、低初期エネルギーを持つ軽粒子も存在する場合について、軽粒子達の質量が0に収束し、同時に軽粒子達の速度及び密度が一定のオーダーで高くなるとき、重粒子の位置―速度過程が拡散過程へ収束することを証明するのが目標であった。また、低次元の場合についても考える予定であった。これらのためには、軽粒子の挙動と凍結近似の挙動の間の誤差評価をより高精度に行うために、Gronwall の補題に現れる係数をより精密に評価する必要がある。今年度は、これを証明できた。
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Strategy for Future Research Activity |
予定通り、今年度に証明できたGronwall の補題の拡張を用いて、拡散過程の古典力学系による導出という研究課題において、(1)ポテンシャル関数は有界であり、低初期エネルギーを持つ軽粒子も存在する、低次元の場合について、(2)ポテンシャル関数は有界であり、軽粒子達の初期エネルギーの下限は0である場合について、(3)ポテンシャル関数は原点の近くでは無限大に発散する(即ち、粒子間距離が0に近づくとき、相互作用は非常に強くなる)場合について、それぞれ研究する予定である。
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Research Products
(2 results)