2021 Fiscal Year Annual Research Report
A classical mechanical model of diffusion process
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17K05290
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
梁 松 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (60324399)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 拡散過程 / 古典力学系 / 確率過程の収束 / 低次元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
「拡散過程のノンランダムな古典力学系による導出」という研究課題において、環境軽粒子の初期エネルギーは下から有界であるという条件だけ、即ち、十分に高い初期エネルギーを持たない環境粒子も存在するモデルに対し、低次元の場合について研究した。具体的には、理想気体と呼ばれる無限個の軽粒子を含む環境に一つの重粒子を入れ、重粒子と各軽粒子の間はノンランダムな古典力学法則に従って相互作用しながら動くとし、また、粒子間相互作用はあるコンパクトな台を持つ斥力的ポテンシャル関数により与えられるというモデルを考える。この時、低次元の場合に対しても、重粒子の位置―速度過程はある拡散過程に収束することを証明した。重粒子も軽粒子達も同時に動いているのが一番の難点である。
初期エネルギーが十分高い軽粒子については、重粒子との相互作用は軽粒子の運動軌道を少ししか変えられず、軽粒子の速度の初期速度方向における成分はある程度保ったまま非常に短時間で相互作用の有効領域を通過する。よって、軽粒子の挙動は、重粒子が動かないものとして得られる「凍結近似」と呼ばれるもので近似することができる。しかし、軽粒子の初期エネルギーが十分でない場合、相互作用有効領域における滞在時間は非常に長くなる可能性があり、滞在時間の有界性が成り立たなくなる。特に、次元数が低ければ低いほど、この特異性の処理が難しくなる。
今年度は、上述の低初期エネルギーを持つ軽粒子が存在するモデルについて、まず散乱近似の誤差評価及びこれまで得られた凍結近似粒子の相互作用有効領域における滞在時間に対する精密評価を用いて、軽粒子の相互作用有効領域における滞在時間を評価し、さらに、これらを用いて、低次元の場合についても、目標にしている重粒子の位置―速度過程の拡散過程への収束を証明した。
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