2017 Fiscal Year Research-status Report
Study of generic structures and their automorphism groups
| Project/Area Number |
17K05345
|
|---|
| Research Institution | Kobe University |
|---|
Principal Investigator |
桔梗 宏孝 神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (80204824)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | 擬平面 / ジェネリック構造 / モデル完全 / 自己同型群 / 単純群 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Hrushovskiが構成した擬平面と呼ばれる構造や、それに似た構造についていくつかの結果を得た。グラフAに対し次元関数δをδ(A)=|A|-αe(A)で与える。ここで、|A|はAの頂点の個数、e(A)はAの辺の個数、そしてαは0と1の間の実数である。これと対数関数に似た、上に凸な関数fから定義されるKfと表記される有限グラフのクラスがある。グラフAで、その任意の部分グラフBに対してδ(B)≧f(|B|)となるようなAの全体がKfである。このクラスに対してジェネリック構造と呼ばれる概念がある。fを境界関数と呼ぶことにする。Kfが融合性と呼ばれる性質をもつと、ジェネリック構造が存在する。fが有界でない場合、ジェネリック構造の満たす公理系は可算範疇性をもつ。fがある良い性質をもち、δの係数αが有理数の場合にこのジェネリック構造の満たす公理系がモデル完全になることを示した論文が、この年度中の修正を経て、論文誌に受理された。Hrushovskiの境界関数は上のよい性質を満たさないことがわかったが、αが有理数の場合については、やはりジェネリック構造はモデル完全になることがわかった。また、αが2次の無理数などよくある無理数の場合、Hrushovskiの境界関数は有界になることもわかった。もう少し具体的に述べると、αの連分数展開に現れる整数列が上に有界の場合、Hrushovskiの境界関数は有界になる。また、Hrushovskiの境界関数がfの場合、fが有界な関数ならばKfのジェネリック構造の満たす公理系はモデル完全にならないこともわかった。
fが上のよい性質をもつ場合、αが1/2以下の有理数の場合はジェネリック構造の自己同型群が単純群になることもわかった。fがもう少し強いよい条件をもつ場合にも、αが有理数の場合はジェネリック構造の自己同型群が単純群になることがわかった。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ジェネリック構造のモデル完全性については過去の研究である程度できていたが、今年度中に論文の査読者からのコメントにより証明がよりわかりやすくなったことがきっかけで、Hrushovskiの最初の場合にも同様の結果が得られた。もう少し一般化できる見通しもある。また、この証明に使った概念が自己同型群の単純性の証明にも本質的に使うことができた。自己同型群の単純性についてはまだ検討できていない場合がたくさんあるが、手をつけられるような段階になっていると考えている。係数が無理数の場合のモデル完全性についてもある程度の方針がたっており、よく検討する予定である。この場合はモデル理論的に安定な公理系をもつので、自己同型群についてはむしろ調べやすい可能性が高い。
|
| Strategy for Future Research Activity |
係数が有理数の場合のKfのジェネリック構造の自己同型群が単純になるという結果は研究集会や学会で発表しているが、まだ論文の形にはまとめてないので、論文として早急に書き下す予定である。無理数の場合は手付かずであったが、安定性をもつことや、有理数で考えた概念が有効に働いているようなので、自己同型群の性質は手がつけ安い可能性がある。モデル完全性についても証明の試みはあり、まだ改善の余地は残っている。自己同型群については、Baldwinの射影平面のような構造に対して検討する予定である。もととなる有限グラフのクラスは自由融合性をもたないが、そのために考える価値がさらに高いと考えられる。
|
| Causes of Carryover |
4月25-30日にニューヨーク市立大学を訪れてPhilipp Rothmaler教授らとジェネリック構造とその自己同型群に関して議論を行う予定ができたため、この金額を残すことにした。研究協力者の法政大学池田宏一郎教授との研究打ち合わせの旅費も主な支出になる。また、１２月に海外の研究者を複数名招へいする予定にしている。
|
