2018 Fiscal Year Research-status Report
ケーラーでない開複素多様体の幾何と4次元トポロジー
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17K14193
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
粕谷 直彦 京都産業大学, 理学部, 准教授 (70757765)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 複素構造 / 接触構造 / 強擬凹境界 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者らは松本-深谷ファイブレーションと呼ばれる４次元トポロジーの例を利用し、４次元ユークリッド空間上にケーラーでない複素構造の初の例を非可算無限個構成した。コンパクト複素曲面の場合とは対照的に、これまで本質的に開なケーラーでない複素曲面の例はこの例以外知られておらず未知の領域である。したがって、その構成法の一般化を行うというのは重要かつ自然な取り組みである。本研究ではその構成法を一般化し、４次元トポロジーや３次元接触幾何と密接に関わる形でのケーラーでない開複素曲面の構成法を確立することを目標としている。
その中で昨年度、元々の構成法を楕円曲面に対する対数変換の変種とみなすことにより、より一般的な構成法を見出した。これを適用することでケーラーでない開複素曲面の例を量産することを目指していたが、当初の想定より適用範囲が狭く、面白い例の構成があまり望めないことが判明した。そこで、研究実施計画にも記した二番目のプラン「強擬凹境界への正則ハンドルの接着」へ移行した。Eliashbergによる強擬凸境界への正則ハンドルの接着手法をよく検討した結果、強擬凹境界への接着にも応用ができそうであり、現在細部を詰めているところである。これが上手くいけば、研究実施計画に掲げた凹正則充填を持つ３次元閉接触多様体の決定問題が解けることとなる。
また、任意の向き付け可能開多様体はケーラーでない複素構造を許容することを示した共著論文が2018年11月にJournal of Symplectic Geometryから出版された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
昨年度定義した対数変換の変種が思っていたよりも役に立たず期待した成果が得られなかったことと、二番目のプラン「強擬凹境界への正則ハンドルの接着」は上手くいきそうではあるものの未だチェック段階であり、この課題に関する論文を発表できていないことによる。
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| Strategy for Future Research Activity |
「強擬凹境界への正則ハンドルの接着」に関するチェックを進める。これが完了した暁にはLegendrian surgery等に関する既存の結果が応用できるので、それを用いて複素曲面の強擬凹境界となりうる接触多様体を決定する。
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