2021 Fiscal Year Research-status Report
ケーラーでない開複素多様体の幾何と4次元トポロジー
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17K14193
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
粕谷 直彦 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70757765)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 開複素多様体 / 接触構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目標の一つである「任意の3次元閉接触多様体は強擬凹複素曲面の境界として実現可能か？」という問いを肯定的に解決し、さらに接触多様体を充填する複素曲面はケーラーにも非ケーラーにもとれることを証明した。この結果は2002年にEtnyre-Hondaによって示された「任意の3次元閉接触多様体はconcave symplectic fillingを許容する」という定理のholomorphic versionと解釈することができる。また、任意の2つの3次元閉接触多様体を複素コボルディズムでつなげること、さらにそのコボルディズムはケーラーにとれることを証明した。ただし、この場合のケーラー構造は境界の接触構造との相性が悪く、得られる複素コボルディズムは必ずしもシンプレクティックコボルディズムとは限らない。
今回我々がとった手法は、研究実施計画に記した通り、Eliashbergのハンドル接着によるシュタイン多様体の構成法を参考にしたものである。Eliashbergの方法では、強擬凸境界上のルジャンドル結び目に沿って、ラグランジュ円板をcoreとする正則ハンドルを接着するが、我々の方法では、強擬凹境界上の横断的結び目に沿って、正則円板をcoreとする正則ハンドルを接着する。この違いが我々のアイディアの本質である。これらの内容は、Daniele Zuddas氏との共著論文としてまとめ、現在学術雑誌へ投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究課題において設定していた問いを解決できたので、ある程度目標を達成したと言える。また、結果を論文にまとめ学術雑誌に投稿中であること、さらにその内容について日本数学会トポロジー分科会の特別講演をはじめとして国内での招待講演を計4回行うことができたことを考慮すれば、おおむね順調に進んでいると評価できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
すでに「任意の3次元閉接触多様体はケーラーな強擬凹複素曲面の境界として実現できる」ということは示したが、構成によって得られた曲面上のケーラー形式は一般には境界との相性が悪い。そこで、ケーラー性に加え境界との相性のよさを課した時に境界の接触構造には制限がかかるかどうかが次の重要な問題である。この問題については、トポロジー関係者のみならず、大沢健夫氏をはじめとする多変数関数論の何人かの研究者にも興味を持っていただいているので、必要ならば共同研究も視野に入れて取り組んでいく。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で、共著者のDaniele Zuddas氏を招聘する計画を再度延期せざるを得なかった。次年度は来日可能な状況となる可能性が高いと思われるので、招聘費用として使用する計画である。
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