Study of low-dimensional symplectic manifolds in combinatorial ways

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K14194
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: HAYANO Kenta 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (20722606)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: レフシェッツ束 / シンプレクティック多様体 / 写像類群 / モノドロミー

Outline of Final Research Achievements

We show that a surgery corresponding to the chain relations in the mapping class groups of surfaces can decrease the Kodaira dimensions of total spaces of Lefschetz fibrations. Moreover, by analyzing examples of Lefschetz fibrations appearing in the proof of this result, we construct new counterexamples of the Stipsicz conjecture on fiber-sum decomposability and existence of sections of Lefschetz fibrations.
We completely classify genus-1 holomorphic Lefschetz pencils and obtain vanishing cycles of the Lefschetz pencils in the classification list.
Baykur and Saeki gave an algorithm to obtain trisection mappings from (broken) Lefschetz fibrations. We give an algorithm to determine tirsection diagrams corresponding to trisection mappings obtained by Baykur-Saeki's algorithm from vanishing cycles of original (broken) Lefschetz fibrations.

Free Research Field

低次元トポロジー

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

Stipsicz予想の反例はこれまで種数が3以下のものしか知られていなかったが，本研究において任意種数の反例が存在することが示された。またその過程でレフシェッツペンシルのスピン構造許容可能性を，消滅サイクルから決定する方法を与えたが，この結果自体4次元多様体の基本的な位相不変量に関わるもので，その学術的意義は高い。
種数１の正則なペンシルの消滅サイクルを決定する際に用いた手法は，より高次元のシンプレクティック多様体の組み合わせ的表示の理解の助けにもなることが期待される。実際，本研究では6次元シンプレクティック多様体の組み合わせ的表示に関する新たな結果も得られている。