2019 Fiscal Year Annual Research Report
A new approach to Grothendieck's variational Hodge conjecture
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17K18723
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50153804)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
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| Keywords | K理論 / リジッド解析空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ホッジ予想はクレイ研究所が提出したミレニアム問題のひとつである．変動的ホッジ予想は，ホッジ予想よりは弱い予想であるが，アーベル多様体にたいしては同値である．最近の進展により問題は，「形式的スキームの代数的K群」にたいする代数化の問題に帰着される．これはGrothendieckの偉業である形式的存在定理を大きく一般化する難題でこれまで一般的アプローチは知られていなかった．本研究は,リジッド解析空間のK理論を新たに構築することにより, リジッド解析的手法を上記の問題に適用する新たな道筋を開いた．これを説明するために，R を完備離付値環，πをその素元，Kをその商体とする．X を S=Spec R 上の有限型スキームとし，X_n=X×_R/(π^n) とおく．このとき代数的K群の逆系 K_j^cont(X):={K_j(X_n)}_(n>0)が上述の形式的スキームの代数的K群とよばれるものである．本研究はこれをリジッド解析幾何を用いて解析する新理論を構成した．一般にリジッド解析空間 Z に対しその解析的K群 KH_j^an(Z) が(pro-abel群として)定義されて，Z が前述の X のformal completionに(Raynaudの意味で)付随するリジッド解析空間の場合に KH_j^an(Z) と K_j^cont(X) が(ほぼ)同型であることを示した．さらにRが混標数(0,p)の場合に、解析的K群 KH_j^an(Z)からXの生成ファイバーX_Kのサントミックコホモロジーへのp-進レギュレーター写像の構成にも成功した．これにより上述の代数化の問題が、 X_Kの代数的K群からエタールコホモロジーへのp-進レギュレーター写像に関するBloch-加藤予想の帰結であることが示された．これにより代数化の問題が肯定的に解決される新しい例を構成することにも成功した．
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