2007 Fiscal Year Annual Research Report
ワイエルストラス型表現公式の一般化と特異点をもつ曲面の理論への応用
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18340019
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
山田 光太郎 Kyushu University, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮岡 礼子 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70108182)
佐伯 修 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (30201510)
梅原 雅顕 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90193945)
黒瀬 俊 檎岡大学, 理学蔀, 教授 (30215107)
國分 雅敏 東京電機大学, 工学部, 准教授 (50287439)
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| Keywords | フロント / ワイエルストラス表現 / 特異点の微分幾何 / 双曲空間の平坦曲面 / ド・ジッター空間のCMC1曲面 |
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| Research Abstract |
自然な仮定のもとで特異点をもつ曲面のクラスの性質を,ワイエルストラス型表現公式を用いて調べた.とぐに,3次元双曲型空間の平坦曲面,および3次元ド・ジッター空間の平均曲率1をもつ曲面を対象とした.
3次元双曲型空間の平坦曲面について:双曲型空間の完備な平坦曲面はホロ球面と円柱に限ることが古典的に知られているが,特異点を許すと非自明かつ興味深い例が数多く現れる.このような曲面のクラス「平坦フロント」は,代表者,分担者によって様々な視点から調べられてきたが,今回はとくに平坦曲面の焦面(平坦となることがよく知られている)を平坦フロントに一般化し,その性質をしらべた.とくに焦面として現れる平坦フロントは,我々が定義した意味で完備ではなく,一般に特異点が「エンド」に集積することが分かった.そこで,そのような曲面のエンドの漸近挙動について詳細に調べ,エンドの形状を分類した
3次元ド・ジッター空間の平均曲率1の曲面について:この場合も完備なものは全臍的なものしか存在しない,一方,複素解析的なデータによる表現公式はすでに知られており,特異点の研究の開始されている.今年度は,大域的な幾何学の端緒として,エンドの挙動とOsserman型不等式について研究を行った.「有限型」のエンドには楕円型・放物型・双曲型の区別があり,楕円型のエンドをもつ完備な曲面については,Osserman型の不等式が成立することが示されていたが,さらに,完備なエンドには双曲型の場合が現れないことがを示し,これを用いて,一般に完備な(特異点をもつ)曲面に対して同様の不等式が成立することを示した.
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