2006 Fiscal Year Annual Research Report
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18540011
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
藤田 尚昌 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 助教授 (60143161)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
増岡 彰 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 助教授 (50229366)
星野 光男 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 講師 (90181495)
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| Keywords | 行列環 / タイル整環 / Frobenius多元環 / ホモロジー次元 / 入射次元 / 体の標数 |
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| Research Abstract |
体K上のn×n全行列多元環から、ある条件を満たすn個のn×n行列の組(=構造系)で積構造を退化させて定義する「構造系を持つ全行列多元環」について、以下の研究成果を得た。
1.構造系を持つ全行列多元環から、構造系の成分が0または1に限る(0、1)-構造系を持つ全行列多元環が定義できる。これを(0、1)-極限と呼ぶ。n=3の場合は、任意の構造系を持つ全行列多元環はその(0、1)-極限に同型であり、同型類は5個である。しかしnが4以上になると、非同型な無限系列を持つFrobenius全行列多元環が構成できる。全行列多元環がFrobeniusであることとその(0、1)-極限がFrobeniusであることは同値であるなど、(0、1)-極限は一般の構造系を持つ全行列多元環を研究する有効な手段であることが分かった。一番構造の簡単なNayayama多元環の場合は、任意のnに対して(0、1)-極限と同型になることも分かる。Jacobson根基の3乗が0となるFrobenius全行列多元環は特徴的な性質を持ち、その表現型を明らかにした。
2.(0、1)-構造系を持つ全行列多元環が対応するタイル整環を持つ場合、タイル整環の直既約射影加群を包含関係で順序付けた無限順序集合が定まる。これは構造系を持つ全行列多元環の被覆として捉えることができる。この無限順序集合の有限次元表現のカテゴリーはアーベル圏ではないが、有界な表現は射影被覆を持ちホモロジー次元が定義できる。このホモロジー次元と全行列多元環上の加群のホモロジー次元には関係がある。これにより、体Kの標数に依存して自己入射次元が異なる構造系を持つ全行列多元環の例を構成できた。
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