2006 Fiscal Year Annual Research Report
幾何学的変分問題の解の特異点に関する不変量と均衡条件
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18540219
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
加藤 信 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 助教授 (10243354)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
今吉 洋一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (30091656)
橋本 義武 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 助教授 (20271182)
加須栄 篤 金沢大学, 大学院自然科学研究科, 教授 (40152657)
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| Keywords | 極小曲面 / スカラー曲率 / 特異点 / 均衡条件 |
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| Research Abstract |
本研究課題の準備段階において、3次元ユークリッド空間内の極小曲面の内、種数0でn個の懸垂面型の端を持つ、いわゆるn端懸垂面において、各端対に対して相対ウェイトを定義した。この相対ウェイトにより、曲面が退化する直前の様子を記述した定理をいくつか得た所で、本研究課題を開始したのであるが、初年度である本年度は、まず、上記の定理を用いたn端懸垂面の非存在条件の分析の精密化を行った。ここで分析した非存在条件は、端のフラックスが2次元以上の空間を張る場合について今のところ知られている唯一の非自明な条件であるが、実際にはより多くの非存在条件がある可能性があり、さらなる応用は今後の研究の進展を待つことになる。
また、3次元ローレンツ空間内の極大曲面についても、本研究課題開始の段階で、単純な端、すなわち、第1種懸垂面型、空間的平面型、第2種螺旋面型等の端について、そのフラックスと極限法ベクトルの関係を考察し、定式化を進めていたのであるが、本年度はさらに、極大曲面の対称性と特異点集合の関係について分析した。また、それら単純な端のみを持つ種数0の極大曲面について、非存在条件、存在定理等も得た。それらの結果は、部分的にはユークリッド空間内の極小曲面の場合についてかつて得た結果の対応物であるが、一方、ローレンツ空間内の極大曲面においてしか見られない数々の事実をも含んでいる。この場合も、各端対に対して相対ウェイトが定義され、上記結果の一部はこれを用いて得たものであるが、本格的な応用は2年目以降に取り組むべき今後の課題として、種数1以上の場合と共に残されている。
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