2007 Fiscal Year Annual Research Report
幾何学的変分問題の解の特異点に関する不変量と均衡条件
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18540219
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
加藤 信 Osaka City University, 大学院・理学研究科, 准教授 (10243354)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
今吉 洋一 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30091656)
橋本 義武 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (20271182)
加須栄 篤 金沢大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (40152657)
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| Keywords | 極小曲面 / スカラー曲率 / 特異点 / 均衡条件 |
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| Research Abstract |
本研究課題の準備段階において、3次元ユークリッド空間内の極小曲面の内、種数0でn個の懸垂面型の端を持つ、いわゆるn端懸垂面において、各端対に対して相対ウェイトを定義した。この相対ウェイトにより、曲面が退化する直前の様子を記述した定理をいくつか得た所で、本研究課題を開始し、初年度は、まず、上記の定理を用いたn端懸垂面の非存在条件の分析の精密化を行い、また、3次元ローレンツ空間内の極大曲面についても、極大曲面の対称性と特異点集合の関係について分析し、いくつかの存在定理、非存在定理を得た。
それに引き続き今年度は、3次元ローレンツ空間内の極大曲面の特異点集合上に位置する単純な端に関する制約条件を分析し、また、3個の単純な端のみを持つ種数0の極大曲面の分類を完成するとともに、4個の単純な端のみを持つ種数0の極大曲面の一般的存在を示した。極大曲面の場合の単純な端は、極小曲面の場合に比してその種類も多く、それらの状況は単なる対応物と言うには、かなり複雑なものとなっていることが明らかとなった。特に特異点集合上に位置する、nullなフラックスを持つ端について、興味深い現象が見られ、今後さらなる分析が必要となるであろう。また、3次元ユークリッド空間内の種数1のn端懸垂面(コスタ曲面や種数1のジョージ・ミークス曲面などの重要な既知の例を含むクラスである)においても、種数0の場合同様の定式化を行った。その本格的な応用は3年目以降に取り組むべき今後の課題である。
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