2018 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of an index reduction algorithm for differential-algebraic equations by combinatorial methods
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18J22141
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
大城 泰平 東京大学, 情報理工学系研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 微分代数方程式 / 数値計算 / 組合せ最適化 / 代数学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
微分代数方程式 (DAE) は微分方程式と代数方程式の要素を併せ持つ方程式であり、動的システムの解析に広く用いられる。DAE の数値的な解きにくさは、指数とよばれる特性量によって特徴づけられており、DAE で記述された動的システムの高精度な数値計算を行うためには、与えられた DAE を低指数の DAE に変換する操作が重要である。しかし、多くの DAE ソルバで採用されている指数減少法には、適用不能なDAEが存在することが知られている。 本研究の目的は、指数減少を確実に行える DAE のクラスを時変 DAE や非線形 DAE の世界まで広げ、数値シミュレーションの精度向上に貢献することである。
抵抗値や質量のような、誤差を含みうる物理量をパラメータとしてもつ動的システムの解析は、誤差を含む量同士の比較や演算に起因して、数値的に安定しないことがある。混合行列はこのようなシステムのモデリングに有用である。混合行列を係数としてもつ線形DAEの指数減少法の理論は既に得られていたが、計算機上での性能評価は行われていなかった。本年度は、この指数減少法を計算機上に実装し、数値実験を行い、高速に動作することを確認した。これらの成果は2018年6月にノルウェーで開催された国際会議CSC18で口頭発表を行った。
また、非線形DAEに適用可能な指数減少法を開発した。これは組合せ緩和とよばれる、行列の問題を解くアルゴリズムの枠組みを、陰関数定理に基づいて非線形方程式系まで拡張したものである。この手法は指数減少のみならず、DAEの実行可能な初期値を決定する問題の前処理としても用いることができる。この成果について、2018年6月に神奈川県葉山町で開催された国際ワークショップ「湘南ミーティング」で報告を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
混合行列を係数としてもつ線形DAEの指数減少法は、理論計算機科学で最高峰に位置する論文誌 Journal of the ACM に採択された。加えて、研究計画立案当初の目標である「非線形 DAE に対する指数減少法」は本段階でおおむね当初想定した形で構成できたと考えている。したがって、本研究は当初の計画以上に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
微分代数方程式の指数減少法に関する研究を、代数的および組合せ的観点から継続する。特に、微分方程式と差分方程式を統一的に取り扱う代数的手法への展開を推進する。
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