2019 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of an index reduction algorithm for differential-algebraic equations by combinatorial methods
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18J22141
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
大城 泰平 東京大学, 情報理工学系研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 微分代数方程式 / 数値計算 / 組合せ最適化 / 代数学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
微分代数方程式 (DAE) は微分方程式と代数方程式の要素を併せ持つ方程式であり、動的システムの解析に広く用いられる。DAE の数値的な解きにくさは、指数とよばれる特性量によって特徴づけられており、DAE で記述された動的システムの高精度な数値計算を行うためには、与えられた DAE を低指数の DAE に変換する操作が重要である。しかし、多くの DAE ソルバで採用されている指数減少法には、適用不能なDAEが存在することが知られている。 本研究の目的は、指数減少を確実に行える DAE のクラスを時変 DAE や非線形 DAE の世界まで広げ、数値シミュレーションの精度向上に貢献することである。
本年度は、線形時変DAEを代数的な観点からとらえ、DAE の自由度（解を一意に定めるために与えなければならない初期値の数）を計算する効率的アルゴリズムを構築した。DAE の自由度と指数は密接な関係にあることが知られており、その計算は指数減少においても肝要である。提案手法は従来の組合せ的知見に加え、数学の一分野「非可換環論」の道具である歪多項式を利用して設計されたものであり、微分方程式系である DAE の他、差分方程式系にも適用可能である。このように、対象を高度に抽象化する代数学の強みを活かしたアルゴリズム設計を行うことができたと考えている。この成果は国際シンポジウムHJ19および複数の国内学会で報告した。
その他、昨年度までに得られていた成果の報告やとりまとめを行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
抵抗値や質量のような、誤差を含みうる物理量をパラメータとしてもつ動的システムの解析は、誤差を含む量同士の比較や演算に起因して、数値的に安定しないことがある。混合行列はこのようなシステムのモデリングに有用である。昨年度、混合行列を係数としてもつ線形DAEの指数減少法を開発し、論文誌 Journal of the ACMへ投稿した。今年度に入り、当論文誌から査読報告を受け取り、修正作業を行い、採択が決定した。該当の論文誌は計算機科学分野全体におけるトップジャーナルであり、本研究の価値が大きく認められたものではないかと考える。
また、昨年度開発した、非線形DAEに適用可能な指数減少法について、2019年7月に中国・北京で開催された代数計算の国際会議ISSAC19にて発表した。ISSAC19の査読報告に基づき修正を行い、現在論文誌へ投稿中である。
加えて、上記二点の指数減少法について、MATLAB上で動作するライブラリを作成し、ソースコード共有サイトであるGitHubに公開した。
これらの研究成果は、研究計画の立案段階において最終目標に据えていたものであり、したがって、当初の計画以上に研究が進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
微分代数方程式の指数減少法に関する研究を、代数的および組合せ的観点から継続する。特に、微分方程式と差分方程式を統一的に取り扱う代数的手法への展開を推進する。
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