2018 Fiscal Year Research-status Report
Solving the smooth unknotting conjecture in dimension four
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18K03306
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
松本 堯生 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 数学研究所専任研究所員 (50025467)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鎌田 聖一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ２次元結び目 / ２次元ブレイド / チャート図の変形 / マルコフ型定理 / ４次元トポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２次元滑らか結び目解け予想は１助変数の方法で初等的に解けるのではないかと考えて始めたのが1999年の論文であり、４次元空間内の向き付け可能な曲面を２次元ブレイド、さらにチャートという平面内グラフによって表現する方法が研究分担者鎌田聖一氏によって開発されていた。知られている反例は向き付け不可能な曲面に対するものしかないので２次元ブレイドを使用する限りこの反例について考慮する必要がないのも利点である。
与えられた結び目と自明な結び目との間に交点を許した２次元結び目の１助変数族を構成することは簡単にでき、補空間の基本群の可換性から交点の生成・消滅がカスプによってのみ起こるようにできる。この１助変数族を２次元ブレイドの１助変数族に変換することはマルコフ型定理であって、研究分担者鎌田聖一氏との2017年の共著論文の手法をうまく用いれば可能である。交点は動かないとしてマルコフ型定理を適用するので、最後のカスプに対応するチャートでの変形つまりノードと端点の融合は別途強制的に行うことができる。このことによって、交点が２個以上ある場合に、２重点の逆像が２次元球面と区間の直積の中で絡まることは自然に避けられる。交点数を減らす部分までを定理とした報告を数理解析研究所講究録に発表しており、最終段階で扱うべき対象は交点数１の単純ブレイドの１助変数族に限られる。
平成３０年度の計画は、ここまでの部分の証明を詳しく書いた論文を書き上げて発表する予定であったが、最終段階での考察で自明なトーラス結び目を連結和すると自明になることが証明できるのではに興味が向いてしまい、そちらに力を注いだこともあり、論文執筆は次年度以降にずれ込むこととなった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
これまでに得られた結果は本質的なところで図を使う場合が多く、執筆に手間と時間がかかっている。分かりやすい結果できれば予想の解決あるいはそれに近い結果を得たところで発表したいということもあり、進捗状況はやや遅れていると言わざるを得ない。
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| Strategy for Future Research Activity |
我々以外にも予想解決に関心を持つ研究者も現れ、いろいろな解決方法にも目を注ぎながら、注意深く我々の研究を進める。
まずは、問題となる２次元球面結び目は自明なトーラス結び目を連結和すると自明になることを証明するのがひとつの方策かと考える。それと並行して本来の研究目的達成に努力するのは当然である。
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| Causes of Carryover |
家庭の事情もあり、平成３０年度の旅費使用は小額となったが、研究進展に大変有効であった。従って次年度使用額は主に旅費に有効利用したいと考えている。
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