2020 Fiscal Year Research-status Report
Solving the smooth unknotting conjecture in dimension four
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18K03306
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
松本 堯生 大阪市立大学, 数学研究所, 特別研究員 (50025467)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鎌田 聖一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (60254380)
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ２次元結び目 / ２次元ブレイド / チャート図の変形 / マルコフ型定理 / ４次元トポロジー / 直交２ハンドル組 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元滑らか結び目解け予想は1助変数の方法で初等的に解けるのではと考えて始めたのが1999年の論文であり、4次元空間内の向き付け可能な曲面を2次元ブレイド、さらにはチャートという平面グラフによって表現する方法が研究分担者鎌田聖一氏によって開発されていた。
与えられた結び目と自明な結び目との間に交点を許した2次元結び目の1助変数族を構成することは簡単にでき、補空間の基本群の可換性から交点の生成・消滅がカスプによってのみ起こるようにできる。この1助変数族を2次元ブレイドの1助変数族に変換することはマルコフ型定理であって、研究分担者鎌田聖一氏との2017年の共著論文の手法をうまく用いれば可能である。交点は動かないとしてマルコフ型定理を適用するので、最後のカスプに対応するチャートでの変形つまりノードと端点の融合は別途強制的に行うことができる。このことによって交点が2個以上ある場合に、2重点の逆像が2次元球面と区間の直積の中で絡まることは自然に避けられる。交点数を減らす部分までを定理とした報告を数理解析研究所講究録に発表しており、扱うべき対象は交点数１の単純ブレイドの1助変数族に限られる。勿論この族は与えられた2次元結び目と自明な2次元結び目をつないだものであり、いくつかの難点も残っている。
2020年度の計画はここまでの部分の明確化と証明を詳しく書いたものを作成することであったはずだが、曖昧な点が残っていた。そこに河内明夫氏の予想を肯定的に解いたと主張する論文が公開された。大変難解であり、本人を含む勉強会で検討中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
河内明夫氏の論文が正しいかどうかを彼も参加する勉強会でも検討しているが、未だ確認しきれていない。我々の研究との関連やホモトピー球面はどうか等明らかにするべき問題はいろいろある。
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| Strategy for Future Research Activity |
河内明夫氏の方法が正しいかの確認が必要であり、他分野との関連を調査することが有効であろうと考えられる。まずは自分たちのこれまでのやり方をもう一度考え直すのが重要であると考えられる。
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| Causes of Carryover |
コロナによって研究環境が著しく難しくなっている。しかしながら手元に置いておくべき基本文献なども手に入れるようにできれば大変有効なのでそうしたい、物品費以外に旅費はやはり有効であると考える。
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