Study on 3-manifolds and cohomology of subgroups of the mapping class group of a surface

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 18K03310
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: Sato Masatoshi 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (10632010)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 写像類群 / LMO関手 / ホモロジーシリンダー

Outline of Final Research Achievements

We study a subgroup of the mapping class group called the Torelli group and the monoid of homology cylinders of a surface. Especially, we showed that there exist torsion elements on the abelianization of a subgroup of the Torelli group called the Johnson kernel. We describe it in terms of the LMO functor, which is a topological invariant of homology cylinders. We also showed that the leading term of the 1-loop part of the LMO functor is described by the Reidemeister-Turaev torsion of homology cylinders.

Free Research Field

位相幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

曲面の写像類群とは曲面の対称性のことであり、曲面の写像類群の群構造を3次元多様体の観点から研究することは基本的である。Torelli群と呼ばれる写像類群の部分群における降中心列と呼ばれる部分群列と、3次元多様体の中のホモロジーシリンダーのなすモノイドにおけるY降下列と呼ばれる部分モノイド列がある。Torelli群からホモロジーシリンダーへの自然なある単射モノイド準同型があり、これにより降中心列はY降下列に埋め込める。この準同型を通じて、両者の逐次商の構造を調べるとともに、LMO関手と呼ばれるホモロジーシリンダーの位相不変量に1つの幾何的解釈を与えた。