2018 Fiscal Year Research-status Report
Convexity and global behavior of geodesics on Finsler manifolds
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18K03314
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| Research Institution | Fukuoka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
塩濱 勝博 福岡工業大学, 付置研究所, 研究員 (20016059)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
永野 哲也 長崎県立大学, 情報システム学部, 教授 (00259699)
糸川 銚 福岡工業大学, 情報工学部, 教授 (90223205)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | フィンスラー多様体 / 非対称距離構造 / 測地線 / 凸性 / 切断跡 / 共役跡 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸性は幾何学のみならず，解析学，応用数学等，数学の広範な分野に亘る基本概念の一つである．本研究では前研究「フィンスラー多様体の凸性」No.22540106に引き続き距離関数の非対称性から引き起こされる様々な現象を調べ，リーマン幾何学とフィンスラー幾何学の相違点を明らかにする研究を推進する．
既に調べた凸関数を許容する完備フィンスラー多様体の位相に関する研究では全ての位相的特徴を解明出来なかった．その原因は直径関数の単調増大性がリーマン幾何の場合の様には証明出来ず，距離関数の非対称性から生じる
計量の複雑な性質に起因する．凸関数を更に制限してアフィン関数についても同じ問題を研究するとき，再び新たな問題が生じた．
リーマン多様体の切断跡と共役跡に関するBerger-Omoriの定理は曲率条件(Berger)及び計量の解析的条件(Omori)の元に証明された．我々は完備フィンスラー多様体上の切断跡の最小点における測地線の挙動に関する新たな事実を発見し，Berger-Omoriの定理のフィンスラー版を証明し，その応用としてBlaschkeフィンスラー多様体の構造を調べる事に成功した．この成果は距離関数の臨界点における指数定理へ発展させた．
古典的Rauch予想は「コンパクト単連結リーマン多様体上の任意の点いおいて切断跡と共役跡はその点における接空間内で一点を共有する」と主張した．Klingenbergの基本定理は切断跡と共役跡に関する重要な性質を明らかにした．この定理はRauch予想に深く関わる．我々は非コンパクトフィンスラー多様体ではRauch予想が成立しない事を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分担者及び共同研究者の印南信宏・新潟大学理学部教授達との共同研究を推進した結果，幾つかの新しい知見を得た．リーマン幾何学及びフィンスラー幾何学で重要な概念である単射半径を実現する切断跡の最小点における測地線の挙動を調べた．切断跡の最小点を実現する測地線に関するKlingenbergの基本定理のフィンスラー多様体版を証明し，この結果とBerger-Omoriの定理のフィンスラー版をBlaschkeフィンスラー多様体の構造の研究の適用して新しい結果を得た．特に最小直径を持つBerwaldフィンスラー多様体はBlaschkeフィンスラー多様体よりもリーマン多様体に近い性質が有るので，より詳しい研究が進展出来ると考える．「コンパクト単連結リーマン多様体の一点での共役跡と切断跡はその点における接空間内で共有点を持つ」というRauchの古典的予想はA.Weinsteinによって反例が示されている．フィンスラー多様体では新しい現象が現れる事を示した．
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| Strategy for Future Research Activity |
凸性の研究は測地線の挙動と深い関わりがあって，凸性から派生した様々な関数が考えられる．凸関数を許容する完備フィンスラー多様体の位相構造は凸関数の等位集合が全てコンパクトであるという仮定の下ではサバウ・塩浜によって証明されている．しかし，一般的な凸関数を許容する完備フィンスラー多様体の位相に対する結果は未だ不明である．特に，狭義凸関数を許容する完備フィンスラー多様体の位相についても我々の研究は進展している．更に条件を強めて，アフィン関数を許容する完備フィンスラー多様体がユークリッド空間と直線を許容しないフィンスラー多様体の直積に分解されるか？という問題を更に追求して行く．リーマン幾何学の諸定理との関連を凸性を許容する関数の存在を手がかりにして，追求して行く．更にフィンスラー計量に対する条件を設定してBerwald フィンスラー多様体やRanders計量を許容するフィンスラー多様体上の測地線の大域的挙動を更に詳しく追求したい．
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