2020 Fiscal Year Research-status Report
Convexity and global behavior of geodesics on Finsler manifolds
| Project/Area Number |
18K03314
|
|---|
| Research Institution | Fukuoka Institute of Technology |
|---|
Principal Investigator |
塩濱 勝博 福岡工業大学, 付置研究所, 研究員 (20016059)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
永野 哲也 長崎県立大学, 情報システム学部, 教授 (00259699)
糸川 銚 福岡工業大学, 情報工学部, 教授 (90223205)
印南 信宏 新潟大学, 自然科学系, フェロー (20160145) [Withdrawn]
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | 非対称距離函数 / 完備フィンスラー多様体 / 正距方位図法 / 凸関数 / アフィン函数 / 切断跡 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
非対称距離を保つ完備フィンスラー多様体Mの一点pの周りで定義された指数写像は、切断跡内部U(p)では接空間に自然に対応するが、pを始点とする測地線がpの切断点を超えた点では、もはや一意的には接空間にリフトできない。
然し乍らpの周りの正距方位図法によってpの切断点を超えた測地線の部分をU(p)に織り込んで得られた曲線の挙動についての情報はある程度詳しく調べられた。この結果はKlingenbergやNakagawa-Shiohamaによって明らかにされた切断点における最点性を失った測地線の挙動を更に詳しく調べたものである。
凸性はリーマン多様体とフィンスラー多様体に共通に定義され、議論される。完備フィンスラー多様体の測地線の挙動は完備リーマン多様体上の測地線とは必ずしも共通ではない現象が存在する。その現象は凸関数やアフィン関数の存在によって明らかにされる事を我々は示す事に成功した。リーマン多様体の自明ではない凸関数がコンパクトな等位集合を持てば、すべての等位集合はコンパクトである。然し乍ら、同じ現象がフィンスラー多様体では起こりそうも無い。
アフィン関数を許容する完備フィンスラー多様体の上でアフィン関数の積分曲線が直線となることに注目して、その直線が定めるBusemann関数が本質的にアフィン関数と一致する事を示した。更に、アフィン函数全体の空間が最大の時には元のフィンスラー多様体はミンコフスキー空間である事を証明した。
我々が扱うフィンスラー多様体は距離感酢の非対称性に留まらず線形平行移動も非対称性である事に注目する。永野哲也はこの性質を利用して公開鍵暗号システムについて知見を深めた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究目的の一つとして議論を続けてきたフィンスラー多様体上の切断跡の研究は正距方位図法の導入によって大きく前進した。この議論に延長線上には管局面や一般化された回転面上の測地線の挙動を測地共役という新しい考えを導入して
調べ直すことが出来るだろう。
当初はリーマン多様体から始め、二つのリーマン多様体上の単位接束の間に測地共役対応が存在すれば、それらは等長的か？古典的によく知られた判例がある。正円柱に関する議論は幾つかあるが、正円柱を変形した曲面について我々は議論を進展出来ると考えている。この議論は完備フィンスラー曲面に対して進められるだろうか？
|
| Strategy for Future Research Activity |
共同研究者として研究グループに加わっていた印南信宏・新潟大学名誉教授を研究協力者として再び仲間に受け入れ、
永野哲也・長崎県立大学教授、糸川銚・福岡工業大学教授共々協力して複雑な計算等に挑戦し、本研究の更なる発展に繋げる。
|
| Causes of Carryover |
コロナの影響で研究集会が全てオンライン集会となり、研究旅費を使うことが出来なかった。
|
