2021 Fiscal Year Research-status Report
Convexity and global behavior of geodesics on Finsler manifolds
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18K03314
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| Research Institution | Fukuoka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
塩濱 勝博 福岡工業大学, 付置研究所, 研究員 (20016059)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
永野 哲也 長崎県立大学, 情報システム学部, 教授 (00259699)
糸川 銚 福岡工業大学, 情報工学部, 教授 (90223205)
印南 信宏 新潟大学, 自然科学系, フェロー (20160145) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 測地線 / 非対称距離構造 / 測地線の分岐現象 / 切断跡 / 凸性 / Busemamnn関数 / 指数写像の正距方位図法 / ミンコフスキー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非対称距離構造を持つフィンスラー多様体の測地線の大行き的挙動の研究は測地線の分位現象や凸性の研究に大きく依存する。我々は完備フィンスラー多様体上のアフィン関数が存在するとき、その積分曲線は直線となることを証明し、この直線が定めるBusemann 関数は元のアフィン関数と基本的に同じになりうことを証明した。特にこの多様体は直線と超平面との積に分解されることから、アフィン関数全体の集合は実ベクトル空間と同型となることを証明した。この成果はProc.Amer.Math.Soc.から発表された。ミンコフスキー空間との関係も研究された。アフィン空間には分岐する測地線は存在しない。一般の完備フィンスラー多様体上では分岐現象は3現象に纏められる。測地線の分岐現象はフィンスラー多様体独自の現象であってリーマン多様体では起こらない。然し乍ら凸関数との関連において、あるいはBusemann関数との関連において分岐現象を議論することは可能である。一点におけるベクトルに接する二つの異なる測地線が出現する分岐現象に於ては基本関数から定まるある種のテンソルによってその点の条件を決めることができた。ミンコフスキー空間を一般化して直線を持たない完備非コンパクトなフィンスラーのBusemann関数が全て凸関数であるという条件下で分岐現象が
どこに出現するかは興味ある研究課題である。Cheeger-Gromollによる完備非コンパクトリーマン多様体が非負曲率のとき多様体の位相構造は所謂Soul Theoremとして完全に決まるが、分岐測地線の出現はリーマンの場合のアナロジーを拒否している。この問題解決には更なる研究が必要である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
従来のリーマン幾何学では考える必要がなかった現象や正距方位図法などの新しい考え方が測地線の分岐現象の研究に伴って必要となってきた。
例えば曲面上の一点から出発する測地線が切断点に到達すると、その延長はどの様に捉えるのが合理的か？測地線の分岐現象をglobalに捉える事が可能であるか？
特に、完備非コンパクトなフィンスラー多様体上のBusemann関数が全て凸関数である時、測地線の分岐現象が起こり得る場所はBusemann関数の最少点集合に含まれるという予想が成り立つ。
距離関数の非対称性を許容した上での我々の議論は注目に値するだろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
我々は今までに到達した様々な結果を踏まえ、更なる発展を遂げたいと努力する。突然の閃きによって進路が大きく変化することもあり得る。
インドのVaranasiにあるVanaras Hindu UniversityのBankteshwar Tiwari教授やPuneのKulcarni教授、更Bangalore
のAravinda教授、Gujarra助教授などと交流を深め彼らが進めている測地的共役性なども研究の対象に広げていきたい。
代表研究者は日本人として初めてRamanujan Mathematical Societyで特別公演し、インドの数学者達との研究交流を深めていく中でフィンスラー幾何学の進むべき方向を定めて行きたい。
彼らの数学には独特の方策や考え方があると思われるので、インドとの交流が滑らかに進められることを期待している。
国内的にはほぼ全ての研究会がオンライン形式で進められるため研究交流があまり活発ではない様に感じている。
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| Causes of Carryover |
コロナ猖獗により研究集会に出席する機会を失った。従って計画通り予算執行が出来ずに終わった。
次年度は研究分担者との交流を密にして我々の研究計画を更に発展させる。
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