Singular limit of the magnetic Schroedinger operators and related inequalities

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 18K03329
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Kyoto Institute of Technology
• Principal Investigator: Mine Takuya 京都工芸繊維大学, 基盤科学系, 教授 (90378597)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 数理物理学 / 大域解析学 / 量子力学 / スペクトル・散乱理論 / アハラノフ・ボーム効果 / 点相互作用

Outline of Final Research Achievements

In Iwatsuka, Shimada, and I (2009), we prove that the Schroedinger operator with the magnetic field enclosed in a torus converges in the norm resolvent sense to some limit operator, as the thickness of the torus tends to 0. We try to improve their proof, and make sure that the use of the magnetic Rellich inequality simplifies their proof. We also try to prove the trace class convergence in the above limit, but it is incompleted yet.
Related with this issue, we study an open problem `the self-adjointness of the Schroedinger operator with the Poisson random point interaction', and solve it affirmatively, in cooperation with F. Nakano and M. Kaminaga. About this operator, we also determine the structure of the spectrum, and the asymptotic behavior of the integrated density of states.

Free Research Field

スペクトル・散乱理論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

磁場付きシュレディンガー作用素の特異極限に関する結果はまだ完成に至らなかったが、磁場付きRellich の不等式の応用により証明が改良されることは確認されたため、その手法を洗練させることにより、関連する方程式の解析への応用が期待される。一方で、「ポアソン点相互作用をもつシュレディンガー作用素の自己共役性」に関する結果は、この作用素を解析する際の基礎を築いたという意味で重要な貢献と言える。この作用素の解析では、数値計算によるシミュレーションが比較的容易であり、パーコレーション理論などの確率論諸分野とも関連するため、確率論的手法を援用することにより、さらなる発展が見込まれている。