2018 Fiscal Year Research-status Report
変分的手法の発展と非線形偏微分方程式や凸幾何学への応用
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18K03356
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柴田 将敬 東京工業大学, 理学院, 助教 (90359688)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Mahler予想 / 凸幾何学 / 非線形楕円型方程式 / 変分問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸幾何学や非線形楕円型方程式に関連する変分問題について、いくつかの研究を推進した。主なものは次の2つ。
(1)：凸幾何学における重要な未解決問題の一つであるMahler予想は、原点対称な凸体のMahler体積を最小化する問題である。3次元Mahler予想の解決のために用いた手法を整備し、より一般の対称性を持つ凸体のMahler体積を最小化する問題に取り組んだ。より具体的には、直交群O(3)の有限部分群Gを固定し、G不変な3次元凸体全体でMahler体積を最小化する問題に取り組んだ。Gが変われば最小元も最小値も異なることがあり、問題は易しくなったりも難しくなったりもする。ここでは、7系列と7個あるO(3)の有限部分群全てに対して考察を行い、4系列と1つの例外を除いて、最小値・最小化元を決定することが出来た。これは、3次元においては、[Barthe-Fradelizi, Amer. J. Math. 135 (2013)]の結果の完全な拡張になっている。これは入江博氏（茨城大学）との共同研究である。
(2)：ある準線形方程式の正値解の漸近挙動について研究をすすめた。これまでの研究結果において、非線形項の増大度がH^1劣臨界の場合とH^1優臨界の場合は、それぞれについて、正値解の漸近挙動が分かっていた。残るH^1臨界の場合の正値解の漸近挙動について、適当なスケーリングの下で、正値解がTalenti関数に漸近することを明らかにし、さらに、そのスケーリングについても詳しい評価を得た。研究成果は学術論文誌Calc. Var. Partial Differential Equationsに掲載が決定している。これは足達慎二氏（静岡大学）・渡辺達也氏（京都産業大学）との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Mahler予想の解決が研究の主目的の一つであるが、3次元で対称性を一般化した問題について取り組むことにより、いくつかの対称性の元で新たな結果を得ただけでなく、以前開発した手法の有効性やその限界、問題の難しさがより明確になった。これは、今後の研究を進めていく上で重要な基礎になると思われる。
また、ある準線形楕円型方程式の正値解の漸近挙動についても、H^1劣臨界、優臨界の場合に比べ、さらに精密なエネルギー漸近展開を調べることにより、未解決で残っていた部分がほぼ明らかになった。これは重要な成果だと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
Mahler予想に関しては、得られた結果を論文にまとめるとともに、国内外の研究集会も通じて成果を公表していく。
研究としては、Mahler予想について、4次元で一般的な対称性を持つ場合について研究をすすめると共に、3次元で一般的な対称性を持つ場合について、未解決な部分を解決するような新たな手法の開発に取り組む。また、準線形楕円型方程式の正値解の漸近挙動について、非線形項の増大度がH^1臨界で空間次元が3の場合だけ技術的な難しさによって漸近挙動が不明確な部分があるので、そこを解決する。
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| Causes of Carryover |
予定より図書等の購入が少なかったため。次年度はドイツで開催される凸幾何学の研究集会で成果を発表するため、その旅費に加える。
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