2022 Fiscal Year Research-status Report
変分的手法の発展と非線形偏微分方程式や凸幾何学への応用
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18K03356
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
柴田 将敬 名城大学, 理工学部, 准教授 (90359688)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Mahler予想 / 凸幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸幾何学における長年の未解決問題である、Mahler予想に関連する研究を行った。より具体的には、n次元空間に作用する直交群O(n)の離散部分群Gを指定し、群Gの作用に関する対称性を持つ凸体全体に対してvolume productを最小化する問題について研究を進めた。なお、この問題は、Mahler予想を一般化した問題となっている。
特に、高次元の場合に、cubeが不変となるSO(n)の部分群と、simplexが不変となるSO(n)の部分群について、それぞれの群作用に関する対称性を持つ凸体全体に対して、volume productの最小化する問題に取り組んだ。
前年度までに、最良の不等式の証明は完了していたが、本年度は、最小値を達成する等号条件を明示する結果を得た。これらの結果は、入江博 氏（茨城大学）との共同研究に基づき、まとめた論文[H. Iriyeh and M. Shibata, Minimal Volume Product of Convex Bodies with Certain Discrete Symmetries and its Applications]は、International Mathematics Research Noticesへ掲載が決定した。
その他、既に掲載が決定していた論文[H. Iriyeh and M. Shibata, Minimal volume product of three dimensional convex bodies with various discrete symmetries, Discrete Comput. Geom. 68 (2022), no. 3, 738-773]が出版された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
未解決問題である、高次元でのMahler予想に関して、部分的な結果を得られたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
対称性を持つ3次元凸体全体のvolume product最小化問題について、未解決な部分に取り組む。
より具体的には、未解決部分で難易度が低いと考えられる順に、D_2対称、S_4対称、S_2n対称、C_n対称性を持つ場合について、最良な不等式の証明と等号条件の明示について研究を行う。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により、国際研究集会における成果発表の機会が得られなかったため。
2023年6月に開催予定の国際研究集会"The 13th AIMS Conference on Dynamical Systems,
Differential Equations and Applications, Wilmington, NC USA"において、研究成果を発表するための旅費として使用する。
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