2019 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis of diffusion and diffusion wave property for the solutions to the system of the viscous fluid flow
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18K03368
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
小林 孝行 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (50272133)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Navier Stokes 方程式 / ２相流相転移モデル / 双曲型 Navier-Stokes 方程式 / 圧縮性 Navier Stokes 方程式 / 消散項付波動方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では, 圧縮性 Naver-Stokes 方程式, 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式, 非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の解の時間に関する漸近挙動を考察し，これらの粘性流に現れる波動現象と拡散現象を数学的に明らかにすることが目的である. 圧縮性 Navier-Stokes 方程式では, これまでの定数平衡状態の安定性の研究において, 広い意味での Huygens の原理が成り立つことが示唆されている. 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は, ２相流等で相転移境界が薄い遷移ゾーンとして見なされるモデル方程式として提唱され, 近年その初期値問題が研究されている. 非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式は, 斉次非圧縮性 Maxwell 流体の運動の記述として提唱されており, 初期値問題および半空間の初期値境界値問題の場合に, 小さい初期値に対する時間大域強解の一意存在が示されている.
全空間における圧縮性 Navier-Stokes- Korteweg 方程式の初期値問題では，相転移を記述するための圧力項は非単調増加関数でなければならない．したがって. 音速がゼロの場合を考察し，ソボレフ空間における枠組みで解の時間無限における漸近挙動の詳細な結果を得ることで定数平衡状態の安定性を示すことに成功した. また，正則性が臨界となる Besov 空間の枠組みでは，小さい初期値に対する時間大域解の一意存在と時間減衰評価を示し，定数平衡状態の安定性を示した．２次元全空間における Navier-Stokes 方程式と双曲型 Navier-Stokes 方程式の初期値問題では，可積分空間かつ２乗可積分空間に属する小さい初期値に対して, 解は時空間における２乗可積分空間に属することを証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
圧縮性 Navier-Stokes 方程式の定数平衡状態の安定性の研究では, 広い意味での Huygens の原理が成り立つことが示唆されている. 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は, ２相流等で相転移境界が薄い遷移ゾーンとして見なされるモデル方程式として提唱され近年研究されている. 非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式は, 斉次非圧縮性 Maxwell 流体の運動の記述として提唱されており, 初期値問題の場合に, 小さい初期値に対する時間大域強解の一意存在が示されている.
外部領域と摂動半空間における非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式では，線形化方程式の解の局所エネルギー減衰評価を得ることに成功し，現在では非線形方程式の時間局所解の存在証明に着手している．全空間における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式では，定数平衡状態の安定性について研究し，解の時間無限における漸近挙動の詳細な結果を得ることに成功した．特に，漸近挙動として拡散項や拡散波動項の抽出に成功した．また，全空間における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式では，音速がゼロの場合を考察し，ソボレフ空間および正則性が臨界であるBesov空間の枠組みで定数平衡状態の安定性と解の漸近挙動の詳細な結果を得ることに成功した．現在では，外部領域における初期値境界値問題に着手している．２次元全空間の非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式, 非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値問題では解の時空間の L2 有界性を得ることに成功した．現在，圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値問題に応用し，解の漸近形を抽出する研究も概ね順調に進んでいる
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| Strategy for Future Research Activity |
圧縮性 Naver-Stokes 方程式と非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の解の構造において, 前者の線形近似は非圧縮性 Stokes 方程式と線形粘性弾性体方程式であり, 後者はソレノイダルベクトル場における消散項付波動方程式である. 拡散項と波動項の相互作用が異なるため, それぞれの方程式系の解の拡散現象と波動現象を知るために, 解の時間無限における漸近挙動を解析する．
(1) 外部領域における非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題では，非線形問題を解く第一歩として，時間局所解の存在証明に着手する．次に，これまで得られた局所エネルギー減衰評価と全空間の解の評価を cutoff テクニックを用いて線形化方程式の解の Lp-Lq 評価を導いて，非線形問題に応用する
(2) 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は，二相流体の拡散界面モデルであり，その相転移を記述するためには圧力項は非単調増加関数でなければならない．したがって，音速がゼロの場合を考察し，外部領域における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値境界値問題において，まず線形化方程式の解の局所エネルギー評価を導く．その際，拡散項や拡散波動項の抽出も行い，全空間の解の評価を cutoff テクニックを用いて線形化方程式の解の Lp-Lq 評価を導いて，非線形問題に応用する
(3) Hardy 空間と BMO 空間の duality に関する不等式とMorawetz の方法を用いたエネルギー法を用い, 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値問題に応用する
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス対策のため, 国際研究集会への参加および招待講演予定を取りやめ，渡航を中止したことと，国内で開催予定であった国際研究集会等も中止になったため，当初予定した当該年度の所要額に残金が生した．次年度は新型コロナウイルスが終息次第，延期になった国内および国際研究集会等に参加，講演を行う．そのため，次年度使用額は，主に旅費に用いる．
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