2020 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis of diffusion and diffusion wave property for the solutions to the system of the viscous fluid flow
| Project/Area Number |
18K03368
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
小林 孝行 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (50272133)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | Navier Stokes 方程式 / 2相流相転移モデル / 双曲型 Navier-Stokes 方程式 / 圧縮性 Navier-Stokes 方程式 / 消散項付波動方程式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では, 圧縮性 Naver-Stokes 方程式, 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式, 非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の解の時間に関する漸近挙動を考察し，これらの粘性流に現れる波動現象と拡散現象を数学的に明らかにすることが目的である. 圧縮性 Navier-Stokes 方程式では, これまでの定数平衡状態の安定性の研究において, 広い意味での Huygens の原理が成り立つことが示唆されている. 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は, 2相流等で相転移境界が薄い遷移ゾーンとして見なされるモデル方程式として提唱され, 近年その初期値問題が研究されている. 非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式は, 斉次非圧縮性 Maxwell 流体の運動の記述として提唱されており, 初期値問題の場合に, 小さい初期値に対する時間大域強解の一意存在が示されている.
全空間における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値問題では，相転移を記述するための圧力項は非単調増加関数でなければならない. そのため音速がゼロの場合を考察し，ソボレフ空間における枠組みで解の時間無限における漸近挙動の詳細な結果を得ることで定数平衡状態の安定性を示すことに成功した. また，Besov空間における枠組み, 解の最大正則性原理の枠組みで小さい初期値に対する時間大域解の一意存在と時間減衰評価を示した. 2次元全空間における圧縮生 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値問題では，Hardy 空間と BMO 空間の duality に関する不等式とMorawetz の方法を用いたエネルギー法を用い, 解は時空間における2乗可積分空間に属することを証明した.
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
圧縮性 Navier-Stokes 方程式の定数平衡状態の安定性の研究では, 広い意味での Huygens の原理が成り立つことが示唆されている. 圧縮性 Navier-Stokes- Korteweg 方程式は, 2相流等で相転移境界が薄い遷移ゾーンとして見なされるモデル方程式として提唱され近年研究されている. 非圧縮性双曲型 Navier- Stokes 方程式は, 斉次非圧縮性 Maxwell 流体の運動の記述として提唱されており, 初期値問題の場合に, 小さい初期値に対する時間大域強解の一意存在が示さ れている. 外部領域と摂動半空間における非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式では，線形化方程式の解の局所エネルギー減衰評価を得ることに成功し，現在では非線形方程式の時間局所解の存在に着手している. 全空間における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式では，定数平衡状態の安定性について研究し，解の時間に関する漸近挙動の詳細な結果を得ることに成功した. また，全空間における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式では，音速がゼロの場合を考察し，ソボレフ空間の枠組み, Besov空間の枠組み，最大正則性原理の枠組みで時間大域解の存在と解の減衰評価を示した. 2次元全空間の非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式, 非圧縮性 Navier-Stokes 方程式，圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値問題では解の時空間の L2 有界性を得ることに成功した. これらの初期値問題の研究は概ね順調に進んでいるが，初期値境界値問題については, 現在のコロナ禍の影響で, 関連する研究者との研究討論が難しいため少し研究が遅れている
|
| Strategy for Future Research Activity |
圧縮性 Naver-Stokes 方程式と非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の解の構造において, 前者の線形近似は非圧縮性 Stokes 方程式と線形粘性弾性体方程式 であり, 後者はソレノイダルベクトル場における消散項付波動方程式である. 拡散項と波動項の相互作用が異なるため, それぞれの方程式系の解の拡散現象と波 動現象を知るために, 解の時間無限における漸近挙動を解析する.
(1) 外部領域および摂動半空間における非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題では，非線形問題を解く第一歩として，時間局所解の存在証明に着手する. 次に，すでに得られている解の局所エネルギー減衰評価と全空間の解の評価を用いて解の Lp-Lq 評価を導き，非線形問題の時間大域解の存在と解の減衰評価を示す．
(2) 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は，二相流体の拡散界面モデルであり，その相転移を記述するためには圧力項は非単調増加関数でなければならない. したがって，音速がゼロの場合を含めて考察し，外部領域における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値境界値問題において，まず線形化方程式の解の 局所エネルギー評価を導く.その際，拡散項や拡散波動項の抽出も行い，全空間の場合で得られている拡散項や拡散波動項の評価と合わせて cutoff テクニックを用いて線形化方程式の解の Lp-Lq 評価を導く. 非線形問題に対しては，得られた Lp-Lq 評価と解の最大正則性原理を用いて時間大域解の存在と解の減衰評価を示す.
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス対策のため, 国際研究集会への参加および招待講演予定が中止になり，渡航も中止したことと，国内で開催予定であった国際研究集会等も中止になったため，当初予定した成果発表および研究打ち合わせができず当該年度の所要額に大幅な残金が生した. 次年度は新型コロナウイルスが終息次第，延期になった国内および国際研究集会等に参加，研究成果発表のための講演を行い，研究打ち合わせを行う. そのため，次年度使用額は，主に旅費に用いる.
|
Research Products
(4 results)
