2018 Fiscal Year Research-status Report
関数空間上の汎関数に対するエネルギー最大勾配曲線の統合的研究
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18K03381
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
山浦 義彦 日本大学, 文理学部, 教授 (90255597)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三村 与士文 日本大学, 文理学部, 助教 (30646427)
SVADLENKA KAREL 京都大学, 理学研究科, 准教授 (60572188)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Curves of maximal slope / Legendre-Hadamard 条件 / Transformation trick / 準線型熱方程式の Weissler 指数 / 弱解の高可積分性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸性を満たさない汎関数、あるいは、微分可能性をもたないエネルギー汎関数に対するエネルギー勾配流（Curves of Maximal Slope [以下、CMS と略記]）の理論の具体的問題への適用を目指しました。実際問題への応用を見据え、既存の二通りの解の構成方法について、それらの優位性、および、具体的問題に対して研究を推し進める上で適用困難な点について考察を重ねました。この研究の意義は、微分不可能な汎関数に対してはエネルギー勾配流方程式に代わるエネルギー勾配流曲線の構成により時間発展の研究の基礎になるという点で重要な位置づけになります。また、第１変分が定義される場合においてさえも、汎関数のエネルギー最小性という優位性を本質的に使うことにより、正則性解析に於いて優位性を見出すことを目標としています。実際の研究手法は, 時間変数離散近似エネルギー汎関数を用いたアプローチ（Discrete Morse Flow 法（以下「DMF法」）と局所的変分問題を帰納的に用いるアプローチ（Local extension 法（以下「LM 法」）の2つが知られています。純粋に数学的理論の追究という方向性に加え、解の存在証明として知られている上記の２つの方法が、構成的であり、かつ、離散的な議論を基礎とする、あるいは離散的議論への帰着が可能であるこ とがわかったため、共同研究者との数値実験への応用についての議論も始めることができました。以上の問題の 背景及びそれぞれの研究手法を踏まえ、本申請研究初年度として、研究課題にある CMS の統合的研究により具体 的問題への適用可能性の検討に重点を置いて研究を勧めました。上記２つの方法それぞれの優位性を検討しながら 個々の具体的な問題に取り組み、少しずつ研究成果を出しつつあります。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通り、初年度は様々な具体的エネルギー汎関数のエネルギー勾配流曲線構成への適用を検討しました。具体的に検討、または研究に取り組んだ問題は、(a) ｐラプラシアン方程式系、(b) Legendre-Hadamard 二次形式放物型方程式系、(c) 同双曲型方程式、(d) 分数べきソボレフ関数空間上の ｐーYamabe flow, (e) 非凸準線型熱型方程式です。それぞれの問題について、今後その研究に取り組むための方向性と方針まで確認することができました. 特に論文投稿まで完了したのは (e) の問題の考察です。ｐ乗ノルムマイナス項つきディリクレ汎関数を扱う問題ですが, これについては Restriction 法（空間制限）の方法を使うことでLM法による時間局所解の構成が知られています。一方、本研究ではｐに対して条件を設けることにより、空間制限を行うことなく直接 CMS を構成できることが実証しました。そして重要な観点は、ｐに対する条件が古典的に良く知られたWeissler 指数と完全に一致することが証明されたことにあります。このけっかにより、Weissler 指数はエネルギー勾配流の構成という観点からも自然な値であることが証明されました。また、(b) については係数関数が時間変数に依存しない場合については申請者の結果として論文が出版されていますが、これに対応する時間依存係数に対する研究を開始し、 近似解の近似パラメータに関する一様ノルム評価導出のための係数が満たすべき条件を求めることに成功しました。 また、(c) についてはすでに知られている古典的な高可積分性を有する弱解の構成の理論を踏襲することで同等の 結果を得ることが目標ですが、(b) の定数係数の場合の研究で有効であったテクニックが双曲型方程式 でも同じく有用であることまで得ることができました。
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| Strategy for Future Research Activity |
「現在までの進捗状況」で述べた(a)-(e)に沿ってさらに研究を推し進める計画です。(a) では弱解の１階微分の一様評価までの結果までを論文作成し、投稿予定です。また、(b) は近似解に対する時間依存係数の弱解の一様ヘルダー正則性導出に向け、Campanato 理論の離散化議論への適用の詳細を詰め、局所正則性解析を進めていきます。(c) は transformation trick が高可積分性理論に与える影響を詳細に検討し、論文にまとめる計画です。考えられる「弊害」は低階項処理であり、これは実現可能であると予想しています。(d) については、今後 Wasserstein 距離空間上の Keller-Segel 系の弱解構成に取り組み、LE法が適用可能であることの証明を目指す計画です。(e) の研究で本質的に使われるノルム補間不等式に相当する不等式が Wasserstein 距離と積分ノルムの間で必要不可欠になりますが、その結果は得られておらず、今後もなお困難が予想されます。そのため、LE法に限らず DMF 法での時間局所解についての新しい構成方法を模索するなどの対応策が考えられます。分数べきソボレフ関数についての理論を CMS 構成理論に適用できることを目指します。これは全く新しい問題であるため、その研究方針は深く考察ができていないのが現状です。第一歩として整数べきソボレフ関数 の場合の汎関数の全微分可能性の誤差評価に基づく解のクラスへの埋め込みを考え、そのままではうまく理論に乗 らないことが判明した場合には、新しいクラス設定が必要になると予想しております。これは少しチャレンジングな問題と位置づけております。(b), (c) についてはすでに時間依存がない放物型方程式系で多くの技術を修得して おりますので、 おおよそ順調に研究が進められると期待しております。
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| Causes of Carryover |
分担金として計上していた6万円は、計画していた研究集会（国内旅費として６万円）に参加できなくなったため、繰り越しとなりました。繰越金を含め、今年度の使用計画は以下の通りです。共同研究者２名には６万円ずつ、合計１２万円を分担していただきます。どちらも国内研究集会参加のための二泊三日程度の旅費一回分を想定しています。研究代表者は、８月に中国にて、また、１１月には台湾においてそれぞれ技術系研究集会に講演招待を受けており、申請課題の研究が工学の分野でのニーズや研究者との研究討論を行う目的で参加することを計画しています。その際の旅費、参加費用、および、日当として、合計１７.５万円×２回＝３５万円の使用を計画します。その他、２回の謝金を計画しています。一回は６月にイタリア・パルマ大学 Giuseppe Mingione 教授への講演謝金（３万円）、および、下半期に分数べき Yamabe 流の研究討論のため、中村謙太氏への出張旅費および講演謝金（８万円）を支出する計画です。以上で合計４６万円の支出となり、分担金を合わせて５８万円全額を使用する計画です。
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Research Products
(4 results)
