2022 Fiscal Year Annual Research Report
Integrated study of curves of maximal slope for the energy functionals on a functional space
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18K03381
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
山浦 義彦 日本大学, 文理学部, 教授 (90255597)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三村 与士文 日本大学, 文理学部, 助教 (30646427)
SVADLENKA KAREL 京都大学, 理学研究科, 准教授 (60572188)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Gehring 理論 / 高可積分性 / 離散モース流 / 双曲型偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
時間変数を含む放物型、双曲型の偏微分方程式の解を関数空間上の曲線ととらえ、時間変化に伴い、関数空間上のエネルギー汎関数の値が最適に減少する曲線を見つける問題を研究している。変分法を時間発展問題に応用するための有効な方法として、最大勾配曲線法[CMS法]と離散モース流法[DMF法]が知られている。
【最終年度の実績】 DMF法による双曲型偏微分方程式の研究を行った。弱い意味での解を構成する段階では、それ自身および１階弱微分が２乗可積分な関数を用いる。結論はこうして構成された弱解の空間微分が２乗よりわずかに高い可積分性を有することである。エネルギー汎関数の主要項は、二次形式であり、係数関数は空間変数にのみ従属するLegendre-Hadamard 条件を満たす関数である。この条件は二次形式エネルギー汎関数に限れば、変分法によって扱える限界である「擬凸性」に相当する一般性をもつ条件である。これまで知られている先行結果は、係数がLegendre 条件であるだけでなく、各時間ステップではエネルギー汎関数の第１変分が０になる、Euler-Lagrange 方程式の弱解を用いて解を構成していた。これに対して、本研究では再帰的にエネルギー汎関数の「最小化関数」を使って解を構成することができた。これが本研究の最大の特徴である。
【期間全体の実績】上で述べた二つ解析手法を適用することにより, 準線型放物型方程式、および、ｐラプラシアン型放物型方程式系の考察を行った。前者についてはCMS法の適用により、良く知られているWeissler指数について、変分解析の視点からの新しい解釈を与えた。 一方、後者についてはｐが２より大きい場合である退化型方程式について、DMF法に加え非退化近似という変分収束理論を合わせた解析を行うことで、一様ヘルダー連続性を有する近似解の構成を実現した。
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