2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03403
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
薄葉 季路 早稲田大学, 理工学術院, 准教授 (10513632)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 巨大基数 / 集合論的多元宇宙 / 強コンパクト基数 / リンデレフ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
集合論的多元宇宙の研究に関しては次のような結果が得られた。１．超巨大基数が存在すれば集合の宇宙が強制法によって不変な部分宇宙の強制拡大になることをしめした。この結果について国内学会で発表をおこない、また論文が査読付き国際雑誌に掲載された。２．集合論的多元宇宙の形式的証明体系についての考察を行い、多元宇宙に関する様々な公理の関係について考察を行った。これらの結果について国際研究集会で招待講演、および国内学会で講演を行った。この結果をまとめた論文を現在準備中である。３．選択公理を仮定しない多元宇宙論に関して、巨大基数の仮定のもとでは全ての基礎モデルが一様に定義可能であることを示した。この結果について国内学会で発表を行い、またその結果をまとめた論文を査読付き国際雑誌に投稿した。
その他、巨大基数および無限組み合わせ論に関して以下のような結果が得られた。１．位相空間において、自然に位相を強めたときにコンパクト性がどの程度壊れるか、というArhanglkiiの問題に関して、ある巨大基数が最適な上限を与えること、およびリンデレフ空間の積空間のコンパクト性がどの程度壊れるかについても自然な上限を与えることを示した。これらの結果について国際、国内学会で発表を行い、また論文が査読付き国際雑誌に掲載された。関連結果についても国際雑誌に投稿を行った。２．特異基数上の組み合わせ論に関する新たな組み合わせ論的原理を導入し、その原理が様々な未解決問題への解答を与えることを示した。この結果をまとめた論文が査読付き国際雑誌に掲載された。Matsubara, SakaiとPκλ構造に関して共同研究をおこない、薄い定常集合が自然な状況では常に存在することを示した。この結果をまとめた論文が査読付き国際雑誌に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
選択公理を仮定せずとも、巨大基数の存在から基礎モデルの一様定義可能性が成り立つことを示したことにより、下方向の多元宇宙論の解析のための下準備が整い、強制法によって不変な内部宇宙など、従来の多元宇宙論での様々な概念が選択公理がない状態でも定義可能であることが判明した。また、副産物として、選択公理が強制可能であることの必要十分条件として、宇宙全体が選択公理が成り立つ部分宇宙の非常に小さな拡大でなっている、という結果が得られた。これを用いて、選択公理が強制可能な状態での多元宇宙の構造がほぼ完全に解明された。さらに、この一様可能性を変形すれば既存のpseudo-groundを選択公理抜きでも扱えることが判明し、選択公理抜きでのpseudo-groundを含めた、より一般的な多元宇宙の理論を展開できる可能性が明らかになった。一方で、選択公理がない状況では多元宇宙の下方向への有向性が自然には成り立たないことも判明した。
他方では、多元宇宙を記述する形式体系の開発をおこない、概ね必要十分な体系であることが判明している。実際にSteelによる多元宇宙論はこの枠内で完全に展開可能である。一方でWoodinによる多元宇宙論をとらえるには、本質的に二階集合論の体系が必要であることも判明した。
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| Strategy for Future Research Activity |
選択公理が成り立たない状況での基礎モデルの一様可能性により、既存の様々な選択公理が成り立たないモデルでの多元宇宙の解析を推し進める予定である。特に、近年発見されたBristolモデルは、選択公理が成り立たないだけでなく強制不可能であり、さらに様々な巨大基数も取り込めることが知られているので、このモデルに関する研究を行う。この方面に関しては芝浦工業大学の池上大祐、East Angla大学のAsaf Karagilaと秋に共同研究を行う予定である。同時に、選択公理抜きでのpseudo-groundの一般論も考察していく。これらの理論の発達によって、巨大基数公理の宇宙VからVへの非自明な初等的埋め込みの非存在に関しての知見が得られる目算は非常に高いものと思われる。HOD予想はHODがpseudo-groundであることを主張する予想であり、このアプローチを通してHOD予想の解明にも新たな知見をもたらすものと思われる。
また、現在早稲田大学で定期的に池上大祐、および筑波、早稲田の学生と集合論に関するゼミを開催しており、今後得られた結果をこのゼミでの議論を通して更なるブラッシュアップを図る予定である。
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