2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K03445
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
桂 法称 東京大学, 大学院理学系研究科(理学部), 准教授 (80534594)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 強相関系 / Hubbard模型 / Ising模型 / マヨラナ・フェルミオン / 開放量子系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度の主な結果として、以下の３つに関するものが挙げられる。（１）SU(n) Hubbard模型における強磁性、（２）SU(N) 引力 Hubbard 模型におけるマヨラナ鏡映正値性、（３）端に散逸のある量子スピン鎖のリウビリアンギャップ。
（１）平坦あるいはほぼ平坦なバンドが最下端にあるSU(2) Hubbard模型では、基底状態で強磁性が発現することがあることが知られている。平成30年度には、１次元の場合にこの結果をSU(n) Hubbard模型（n>2）へと拡張した。当該年度は、２次元以上についても、一連のSU(n) Hubbard模型を考え、その場合にも最下端のバンドが完全あるいはほぼ平坦で、1/n フィリングの場合には、カラーが揃った強磁性状態が基底状態となることを厳密に証明した。
（２）SU(2)引力Hubbard模型の基底状態の縮退度やスピン量子数を決定する数理手法として、スピン鏡映正値性というものが知られている。この手法は、電子のアップスピンとダウンスピンの間の対称性を用いているため、SU(n) (n>2) 引力Hubbard模型にはそのままの形では適用できない。しかし、模型のマヨラナフェルミオン表示を用いることで、この困難を克服し、模型の基底状態の縮退度や電荷密度波的な秩序の存在を厳密に示すことに成功した。
（３）量子Ising鎖の両端のサイトに位相緩和と呼ばれる散逸のある模型を解析した。この模型のリウビリアンは、マヨラナフェルミオンの表示を用いることで、非エルミートな自由フェルミオン系にマップすることができる。このことを用いて、緩和時間の逆数に相当するリウビリアンギャップと呼ばれる量を解析し、これがシステムサイズの３乗に反比例することを示した。
その他に、量子多体傷跡状態や、超対称性のある格子フェルミオン系であるNicolai模型の解析などを行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の２つの大きなテーマは、１．高い対称性をもつHubbard模型の基底状態、２．相互作用するマヨラナ・フェルミオン系とその応用、である。当該年度は、それぞれについて一定の進展があった。
テーマ１に関しては、２次元以上のSU(n) (n>2) 対称性をもつHubbard模型の数理的な解析は今までほとんど例がない。また、最下端のバンドが完全に平坦ではない場合についての解析は、SU(2)の場合の先行研究の手法を改良したものであり、得られた結果は相互作用や状態密度に特異性のないSU(n) Hubbard模型における強磁性を厳密に確立した初めての結果と言える。上述の結果（２）は、テーマ１、２の両方に関係する。SU(n) 引力Hubbard模型を相互作用するマヨラナフェルミオンの模型に書き換えることによって、量子モンテカルロ分野で近年盛んに議論されていた、マヨラナ鏡映正値性が適用できることを明らかにした。これは、計算物理と数理物理の架け橋となり、更なる発展を生み出すきっかけとなる結果であると期待している。その他にも、マヨラナフェルミオン表示を積極的に用いることで、端に散逸のある量子スピン鎖のLindblad方程式の緩和時間に関する、厳密な結果を得ることができた。
このようにテーマ１、２どちらについても、数理物理的な手法を駆使することで多くの成果を得ることができた。一方で、当初予定していた量子多体傷跡状態の研究については、幾つかの非自明な結果が得られたものの、論文としてまとめる段階にまで至らなかった。これらを踏まえて、本研究はおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度は次の２つのテーマに関する研究を遂行する。
テーマ１．拡張されたSU(n) Hubbard模型の解析：SU(2) Hubbard模型では、エータペアリング演算子と呼ばれる演算子によって、ハミルトニアンの厳密な固有状態を多数構成できることが知られている。また、このような固有状態は基底状態ではないが、量子多体傷跡状態の観点などからも再注目されている。SU(n) (n>2) Hubbard模型においても、ある種の部分空間には、このような演算子によって生成される固有状態が存在するが、n>2 の場合に特有のものではない。今年度は、SU(n) Hubbard模型に種々の項を加えて拡張することで、trionなどの３粒子以上からなる複合粒子によって生成される状態が厳密な固有状態となる模型を探索する。また、数値対角化や場の理論的な手法により、そのような模型の性質を調べる。また、散逸のあるHubbard模型の基礎的な性質についても調べる。
テーマ２．量子可積分系の非線形応答：近年、強い外場下における非線形応答が注目を集めている。しかし、強相関系の非線形応答は取り扱いが難しく、理論的な理解はいまだ限られている。昨年度は典型的な可積分な量子スピン系であるXXZスピン鎖における非線形Drude重みをBethe仮設法を用いて解析した。その結果、非線形Drude重みは異方性Δに関して発散・収束の複雑な振る舞いを示すことが明らかになった。今年度はさらに詳細な解析を行う。また、XXZ鎖以外の可積分系や非可積分系における非線形Drude重みについても、Bethe仮設法やボゾン化法、数値対角化などを用いて解析する。
これらに加えて、昨年度ある程度結果の得られた、量子多体傷跡状態に関する研究の更なる発展および結果を論文にまとめることを目指す。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響により、当初想定していた国内外の学会出張や研究打ち合わせのための旅費の出費がなくなったため次年度使用額が生じた。使用計画としては、今年度もしばらくは国内外の出張は難しいと考えられるので、計算機やその周辺機器、書籍の購入に充てる。
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| Remarks |
研究室のホームページにて、発表論文や講演資料の情報を公開している。
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Research Products
(24 results)
