Explicit computations of weight one modular forms including the cases over finite fields and their applications

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 18K13394
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Dokkyo Medical University
• Principal Investigator: Ogasawara Takeshi 獨協医科大学, 医学部, 講師 (90709776)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 法pモジュラー形式 / 重さ1のモジュラー形式 / ガロア群 / 代数体 / ガロア表現

Outline of Final Research Achievements

We established a method of fast computation of weight one modular forms with prime level, including the case over finite fields, and applied it to find new examples of PGL(2,7) number fields ramified at a single prime. Also, together with G. J. Schaeffer, who had made up an effective algorithm for weight one modular forms, we found a PGL(2,7) number field ramified only at 281 with ramification index 8. Without modular form computation, it would be so difficult to discover this number field.
Furthermore, under some assumption, we gave a criterion to distinguish a type of projective image of Galois representation attached to weight one modular form over a finite field.

Free Research Field

整数論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

モジュラー形式は数論の研究（整数の性質を調べること）に不可欠なものとなっている。整数の性質を調べることは概して難しいものである一方、モジュラー形式の計算は多項式の計算と同じようにしてできる。本研究では、モジュラー形式を明示的に計算することで、これまで知られていなかった特徴ある整数論的対象を発見することができた。モジュラー形式の計算無しにそのような対象を発見することは困難であったと思われる。具体的な整数論的対象を発見するためにモジュラー形式の計算を応用した１つの事例を与えたことが本研究の学術的意義である。