2020 Fiscal Year Research-status Report
変形エルミート・ヤン・ミルズ接続と線束平均曲率流の基本的な性質の解明
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18K13415
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
山本 光 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (50778173)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 変形エルミート・ヤン・ミルズ接続 / 変形理論 / モジュライ空間 / ミラー対称性 / 実フーリエ向井変換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は特殊ラグランジュ部分多様体やラグランジュ平均曲率流に対して確立された結果がそのミラー対応物である変形エルミート・ヤン・ミルズ接続や線束平均曲率流に対しても同様に成立するか否かを調べることである．今年度も昨年度に引き続き学習院大学の河井公大朗氏との共同研究という形で上記の内容に関して研究を行った．まず変形エルミート・ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間であるが，昨年度は１次ベッチ数次元の滑らかな多様体になることまでしか分からなかったが，今年度はアフィンかつ向きづけ可能であることまで分かった．またある種の体積汎関数を導入し，変形エルミート・ヤン・ミルズ接続がその汎関数を最小化することも分かった．さらにその汎関数の勾配流として接続に対する幾何学的フローを導入し，それが任意の初期条件に対して短時間解を持つことを証明した．これは特殊ラグランジュ部分多様体（や平均曲率流）のアナロジーである．実際，証明の手法は平均曲率流の短時間存在の証明の応用である．また，変形エルミート・ヤン・ミルズ接続のG2版やSpin(7)版である変形ドナルドソン・トーマス接続というものも同時に昨年度に引き続き研究した．具体的にはcoassociative部分多様体やCayley部分多様体を実フーリエ向井変換するとどのような条件式が出るのか必要十分条件を特定した．これにより変形エルミート・ヤン・ミルズ接続と特殊ラグランジュ部分多様体の類似性，及び線束平均曲率流とラグランジュ平均曲率流の類似性が非常に高いということがより明らかになった．そういった今年度の研究結果は重要である．また，証明の際に特殊ラグランジュ部分多様体やラグランジュ平均曲率流の手法を利用することに成功した点にも価値がある．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度は本研究課題に関連する論文を４本arXivに投稿した．１つ目が変形エルミート・ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間に関する論文である．これに関しては昨年度の時点でほぼ完成していたが，そこから新たに結果を追加したため，今年度の投稿となった．別の一つはSpin(7)の場合の変形エルミート・ヤン・ミルズ接続の類似物（変形ドナルドソン・トーマス接続）の変形理論に関する論文，別のものはG2の場合とSpin(7)の場合に実フーリエ向井変換を再検討する論文，体積汎関数の類似物を導入しその勾配流の短時間存在と一意性を証明する論文などである．これらの論文のどれもが交付申請書に記載した「研究の目的」に関連しており，研究目的を達成するために着実に結果を出すことができていると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
変形エルミート・ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間に関して，現時点では１次ベッチ数次元の向きづけ可能なアフィン多様体であることまで分かったが，明治大学の今野宏氏の指摘により，より強く，１次ベッチ数次元のトーラスであろうということが指摘されている．2021年度初めはまずはこの証明を完全に書き切り，変形エルミート・ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間に関する研究に一旦の区切りを付けたい．その後は（Jacob-Yauのものではなく本研究で得られた接続に対する）線束平均曲率流の解が爆発するか否かや，爆発する場合のそのオーダー，また複素部分多様体と組にした場合の変形エルミート・ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間に関して研究計画書に記載の通り研究を進める．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大のため国内出張も海外出張も０件となり，旅費の支出が０円になったため，次年度使用額が発生した．翌年度は世界的にも国内的にもワクチンが普及する見通しがあるため，特に国内出張は一定数回復すると見積もり，次年度使用額の一部はそれによって使用されると思われる．また，オンライン研究集会を開催し，その人件費や謝金によっても使用しようと計画している．
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Research Products
(4 results)
