Values of Hypergeometric Series

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 18K13428
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Chiba Institute of Technology
• Principal Investigator: EBISU Akihito 千葉工業大学, 情報科学部, 准教授 (70772672)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 超幾何関数 / 差分方程式の不変量 / Pade近似 / 隣接関係式 / 変換公式 / 特殊値 / Dotsenko-Fateev方程式 / 連分数

Outline of Final Research Achievements

The aim of this research was to investigate values of hypergeometric fuctions. The followings are our results:
(1) We constuct some Pade approximations for ratios of Gauss's hypergeometric fuctions. Using these, continued fraction expansions for those ratios are obtained. Also, truncation errors of the n-th approximant for those continued fraction expansions are given.
(2) We introduce invariants of linear difference equations. Using these, we can search whether a given linear difference equation has solutions expressed in terms of hypergergeometric functions or not. Applying this method, we got the followings:(i) Algebraic transformation formulas for Gauss's hypergeoemtric functions and Appell's hypergeometric functions are systematically obtained. (ii) Series solutions of unsolved Fuchsian differential equations(e.g. Dotsenko-Fateev equation) are constructed. (iii) Series expansions of holomorphic solutions at unit argument of the generalized hypergeometric equation 3E2 are constucted.

Free Research Field

特殊関数

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

超幾何関数は多くの良い性質を持つが故に様々な分野に現れ、特にその特殊値を用いて多くの量が表されている。得られた成果の内、以下の2点は様々なことに利用されると考えられる。(i)応用上、難しい関数である超幾何関数をよく分かる関数である有理式で近似すること(Pade近似)は重要である。そこで、超幾何関数の比のPade近似およびそれらの誤差評価を行った。(ii)多くの現象が線形差分方程式を用いて記述される。今回導入した差分方程式の不変量により、与えられた線形差分方程式が超幾何関数の値を用いて表されるか検索できるようになった。これにより、差分方程式を用いて記述される現象の解明が期待出来るようになった。