2008 Fiscal Year Annual Research Report
非線形波動・分散型方程式の幾何学的対称性と解の構造
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19204012
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
堤 誉志雄 Kyoto University, 大学院・理学研究科, 教授 (10180027)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
重川 一郎 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00127234)
國府 寛司 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50202057)
西和田 公正 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60093291)
中西 賢次 京都大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (40322200)
大鍛治 隆司 京都大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (20160426)
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| Keywords | 初期値問題の適切性 / 修正KdV方程式 / フーリエ制限ノルム / Lugiato-Lefever方程式 / 空洞ソリトン |
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| Research Abstract |
今年度は,修正KdV方程式の初期値問題の適切性と減衰項と定数外力場が付いた非線形シュレディンガー方程式であるLugiato-Lefever方程式の定常解について研究した.まず,非線形発展方程式の初期値問題に対する適切性の研究は,非線形偏微分方程式論におけるもっとも基本的な問題の一つである.今年度は,周期境界条件のもとで修正KdV方程式(modified KdV equation)の初期値問題を考え,適切性がどの程度弱い空間(すなわち,広い空間)で成立するのかを調べた.2乗可積分関数のソボレフ空間に基づいた研究は,1993年にBourgainがソボレフ空間の滑らかさを示す指数sに対し,s>1/2なら初期値問題は適切となることを示した.このときの彼の証明方法はフーリエ制限法とよばれ,線形解からのずれを精密に測る関数空間を設定したのが要点であった.2004年に高岡-堤は,このフーリエ制限ノルムに非線形項の相互作用を考慮した項を加えることにより,s>3/8までソボレフ空間の指数(すなわち,関数の滑らかさ)を下げることができることを示した.次に,空洞共振器の数理モデルを記述するLugiato-Lefever方程式の定常解の存在について研究した.この方程式は,定数外力場が付いているため解は無限遠でゼロとはならない上に,減数項が付いているため変分構造を持たない.そのため,物理学者による数値シミュレーションによって,定常解の存在は予想されていたが,数学的に厳密な証明はなかった.この定常解は,空洞ソリトン(cavity soliton)とよばれ,数理物理的に重要な役割を果たすと考えられている.今回,Lyapunov-Schmidtの方法により限られたパラメータの範囲ではあるが,空洞ソリトンの存在を数学的に証明することに成功した.
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