2007 Fiscal Year Annual Research Report
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19540045
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
兼田 正治 Osaka City University, 大学院・理学研究科, 教授 (60204575)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷崎 俊之 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70142916)
柳田 伸顕 茨城大学, 教育学部, 教授 (20130768)
手塚 康誠 琉球大学, 理学部, 教授 (20197784)
橋本 義武 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (20271182)
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| Keywords | Frobenius direct image / flag variety / reductive groups / D-modules / Humphreys-Verma modules |
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| Research Abstract |
正標数pの体上のreductive代数群Gの表現論を研究するのに、標数0の時のBrylinski-柏原、Beilinson-Bernstein、柏原-谷崎のように、D加群を使いたい。その際、柏原-Lauritzen、Bezrukavnikov-Mirkovic-Rumyninの仕事により、Gのflag variety X上の通常のdifferential operator ringではなく、divided powerのないものが有効であろう事が予想され、我々は、更にそのcentral reduction $\bar D$を考える。これは、X上の構造層$\mathcal{0}_X$の、そのFrobenius twist上のendomorphism ring、或いは、$\mathcal{0}_X$のFrobenius direct image$\_*$\mathcal{0}_X$の$\mathcal{0}_X$上のendomorphism ringである。この$\bar D$に関して我々は先に、橋本とRumyninとの共同研究で、G=SL_3の時とXが射影空間になるときには、Beilinson型のBeilinson-Bernstein局所化定理がderived equivalenceとして成立することを見た。
下記第一論文では、同様な局所化定理が、G=Sp_4でも成立することを示した。これらは、$F_*$\mathcal{0}_X$がX上のtilting sheafになることを見るのであるが、実は、そのindecomposable direct summandsは整数環上定義されており、それらは、複素数体へbase changeを行うと、Catanese予想というX上の連接層のなすbounded derived categoryを記述する為のcomplete strongly exceptional posetを与えることを発見した。これらdirect summandsは、X=G/PPはGのparabolic部分群、と書いて、G_1をGのFrobenius kernelとする時、PからG_1Pへの誘導加群、Humphreys-Verma加群の構造によって制御される。この現象は、上記の場合から一般化されることが期侍され、3月には、手塚、柳田との議論によって、quadricsについても見通しをつけた。
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