2019 Fiscal Year Annual Research Report
D-臨界的双有理幾何学の確立とDonaldson-Thomas不変量の圏論化
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19H01779
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Donaldson-Thomas不変量 / D-臨界的スキーム / 行列因子化 / 導来スタック |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Donaldson-Thomas不変量とは3次元カラビヤウ多様体上の安定層を数え上げる不変量であり、特に３次元カラビヤウ多様体上の曲線の数え上げ問題との関連を中心に発展してきた。一方、Donaldson-Thomas不変量をより洗練化したコホモロジー的Donaldson-Thomas不変量はモチーフ的Donaldson-Thomas不変量といった不変量も導入され、研究が進められている。それらを更に三角圏として洗練化した圏論的Donaldson-Thomas理論が存在するのではないかと考え、研究を進めている。この理論が出来ると、例えば安定性条件の壁越え現象として得られていた種々の曲線の数え上げに関する公式を双有理幾何学的な視点で解釈出来ると考えており、大変重要であると考えている。
今年度は代数曲面上の標準因子の全空間として与えられる非コンパクト３次元カラビヤウ多様体（局所代数曲面と呼ばれる）上の圏論的Donaldson-Thomas理論の概念を定義し、それらの壁越えによる振る舞いに関する一連の予想を提唱した。また、これらの予想を幾つかの特別な場合（例えばconifoldの特異点解消の場合など）に証明した。局所代数曲面上の圏論的Donaldson-Thomas理論を構成する際にArinkin-Gaitsgoryにより導入された導来スタック上の層の特異台の概念を用いることが新しいアイデアである。また局所代数曲面上の圏論的Donaldson-Thomas理論にHall型の代数構造が入ることを証明し、このHall型の代数を通じてPandharipande-Thomas不変量の生成関数の有理性の新たな解釈が出来る可能性を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
局所代数曲面という特別な３次元カラビヤウ多様体ではあるが、その場合に圏論的Donaldson-Thomas理論を導入でき、今後この圏の性質を詳しく調べることが可能になったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度導入した局所代数曲面上の圏論的Donaldson-Thomas不変量の壁越えに関する予想の証明に取り組む。また、局所代数曲面とは限らない一般の３次元カラビヤウ多様体上の圏論的Donaldson-Thomas理論の構成にも取り組む。
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