2023 Fiscal Year Annual Research Report
D-臨界的双有理幾何学の確立とDonaldson-Thomas不変量の圏論化
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19H01779
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Donaldson-Thomas不変量 / 連接層の導来圏 / 行列因子化 / BPS不変量 / 圏論的Hall代数 / K３曲面 / 圏論的特異点解消 / 正則シンプレクティック多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は局所K3曲面に対する準BPS圏について詳しく研究した。昨年度の研究で局所代数曲面上のゼロ次元層のモジュライスタックから定まる準BPS圏を導入し、それらとMcKay対応との関係について調べた。局所K3曲面の場合、ゼロ次元層とは限らないより一般の半安定対象のモジュライスタックから準BPS圏を定義できる。半安定対象の数値類と重みが互いに素である場合にはBPS不変量の圏論化を与えると期待されるため、BPS圏と呼ぶことにする。本年度の研究で、局所K3曲面の準BPS圏が半安定対象のモジュライスタックの連接層の導来圏の「基底」を与えることが分かった。具体的には、上述の導来圏に準直交分解が存在し、各成分が準BPS圏のテンソル積で与えられることを示した。更にBPS圏が固有かつ滑らかなdg圏であること、Serre関手が良モジュライ空間上エタール局所的に自明であること、壁越えによる圏同値を与えること、そしてBPS圏の位相的K群のオイラー数がBPS不変量を与えることを証明した。従って、局所K3曲面のBPS圏が期待される「良い性質を持つ」dg圏であることが明らかになった。更に、BPS圏は特異点を持った複素シンプレクティック多様体の捻り圏論的クレパント特異点解消を与えると解釈できる。この場合には通常の意味のクレパント特異点解消が(O'Gradyによる唯一の例外を除いて）存在しないため、BPS圏による複素シンプレクティック多様体論の新たな側面が発見されたことになった。
上述の研究を遂行するため、４月に１か月ほどニューヨークのコロンビア大学を訪問し、Tudor Padurariu氏と共同研究を行った。上述の結果を得るため、対称的箙の準BPS圏や、準BPS圏の位相的K理論に関する基礎理論を確立する必要があった。それらも含めて３本のプレプリントを執筆し、発表した。
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| Research Progress Status |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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